L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion

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esz Auf diesen Beitrag antworten »
L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion
Halo zusammen,

ich komme bei folgendem nicht weiter:

Berechne explizit (ohne Plancherel), wobei ein reelles Intervall, die charakteristische Funktion auf dem Intervall und ihre Fouriertransformierte.

Für die Fouriertransformierte bekomme ich:

für und für .

Als nächstes möchte ich dann berechnen. Dazu schreibe ich die Exponentialfunktionen als sinus und cosinus und verwende .

Schliesßlich komme ich zu .

Das sollte dann im Integral von gleich b-a geben.

Das Integral bereitet mir jetz allterdings Probleme. Habe ich die Fouriertransformierte und den Betrag richtig berechnet? Wenn ja gibt es einen Trick um das Integral anzugehen?

Danke für die Hilfe, LG
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion
Die Fouriertransformierte sieht auf den ersten Blick richtig aus. Der Betrag hingegen sieht merkwürdig aus. Hast du da Additionstheoreme benutzt?

Und warum integrierst du nur auf dem Intervall [0, 2\pi]?
esz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion
Zitat:
Original von IfindU
Hast du da Additionstheoreme benutzt?


Ja, ich schreibe mal die Rechnung auf:



wobei benutzt wurde, dass cosinus gerade, sinus ungerade. Weiter:



Wobei benutzt wurde sowie . Benutze nun: .



Dann habe ich einfach quadriert.

Ich integriere nur von 0 bis , weil ich die L2 Norm für periodische Funktionen im Kopf hatte, danke. Müsste es dann sein?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion
Ich dachte es war ein Tippfehler, aber es ist nicht sondern . Also hast du "teilweise" bereits quadriert, zum anderne Teil nicht.
esz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion
Zitat:
Original von IfindU
Ich dachte es war ein Tippfehler, aber es ist nicht sondern .


Duh, dann bekomme ich also: .

Und weiter: .

wobei ich substituiert habe und benutzt habe, dass der Integral gerade ist.

Kann ich das irgendwie auf evtl. zurückführen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion

partiel integrieren scheint genau das zu tun.
 
 
esz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L2 Norm der Fouriertransformierten der char. Funktion
Ja so kommt es genau raus, danke für die Hilfe smile
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