Intervallschachtelung beweisen

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nullplanhaber Auf diesen Beitrag antworten »
Intervallschachtelung beweisen
Hallo zusammen, bin neu hier und habe die Suchfunktion bemüht, aber noch keine Hilfe "entdeckt".

Folgende Aufgabenstellung:

Sei 0<a<b; die Folgen () und () durch := a, := b und := , := .
Zeigen Sie, dass die Intervalle [,] eine Intervallschachtelung definieren, d.h. es ist < < < und = .

Also der erste Teil = erste Bedingung der Definition der Intervallschachtelung ist kein Problem. mit 0 < b < a sind die drei Ungleichungen kein Problem. Der zweite Teil lässt mich im Moment ein wenig verzweifeln. Die Definition sagt, dass

zu jedem ein Intervall mit der Länge existiert.

Die Ähnlichkeit zur Grenzwertdefinition leuchtet selbst mir ein Augenzwinkern nur kann ich irgendwie keinen vernünftigen Abschluss hinkriegen. Ich bitte um Denkanstösse Big Laugh
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zu jedem ein Intervall mit der Länge existiert.

Das willst du zeigen?
Dann betrachte mit und .
nullplanhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo bijektion,

das ist ja mein Problem smile In der Definition im Skript ist die zweite Bedingung für die Intervallschachtelung die Epsilon-Geschichte. Wieso - und vor allem wie - kann ich auf kommen?

Bei deinem Ansatz hätte ich Folgendes anzubieten:




Mit und analog für b ist
und

bleibt übrig:


Aber, irgendwie ist noch kein Licht zu sehen unglücklich
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn konvergiert und für alle , dann konvergiert gegen den selben Grenzwert.
nullplanhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Wenn konvergiert und für alle , dann konvergiert gegen den selben Grenzwert.


Hmmmm, wenn der Grenzwert identisch ist, ist dann auch a = b ? Und wenn ja, wo ist es denn noch ein Intervall?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Darum geht es doch, in dem Intervall liegt nur noch der Grenzwert.
 
 
nullplanhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ok, habe jezt schon mal ein Brett weniger vorm Kopf, was das allgemeine Verständnis angeht (hoff ich zumindest...)

Also reicht es, wenn man beweist, dass bzw. konvergent sind?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also reicht es, wenn man beweist, dass bzw. konvergent sind?

Ja, aber die richtigen Folgen. Und da es hier äußerst schwer fällt den Grenzwert auf dem "üblichen Weg" zu bestimmen, nutzt du Monotonie und die Ungleichung für all .
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