Reihenkonvergenz/Divergenz

28.12.2014, 20:07

Anaconda55

Reihenkonvergenz/Divergenz

Hallo,

ich habe hier eine Reihe die der Harmonischen Reihe sehr ähnlich sieht, wäre da nicht die additive Konstante von 1000 im Nenner.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + 1000} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass sie divergiert, aber leider ist mir noch nicht klar warum.

Quotientenkriterium funktioniert hier nicht. (Auch weil es eben eine Art harmonische Reihe ist)
Ich kann keine Minorante finden, da die Harmonische Reihe selbst größer ist als diese Reihe.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

28.12.2014, 20:18

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Dividier einfach durch, dann erhälst du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + 1000} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+\frac{1000}{n^2}} \end{eqnarray*}$ .

Alternativ könntest du auch mit dem Cauchy-Verdichtungskriterium arbeiten.

04.01.2015, 04:08

Anaconda55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Dividier einfach durch, dann erhälst du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + 1000} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+\frac{1000}{n^2}} \end{eqnarray*}$ .

Alternativ könntest du auch mit dem Cauchy-Verdichtungskriterium arbeiten.

Das Cauchy-Verdichtungskriterium kenne ich leider nicht.
Ich komme hier leider noch nicht ganz weiter.

$\begin{eqnarray*} \frac{1000}{n^2} \end{eqnarray*}$ geht für großes n gegen 0.
Dann hätte ich die harmonische Reihe da stehen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

04.01.2015, 10:09

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Dann hätte ich die harmonische Reihe da stehen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Genau. Du bekommst somit eine Miniorante.

04.01.2015, 10:24

thk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Genau. Du bekommst somit eine Miniorante.

Wie meinst du das? Die harmonische Reihe ist in diesem Falll doch eine Majorante.

Eine divergente Minorante wäre etwa $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + n^3} \end{eqnarray*}$ .

04.01.2015, 10:35

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie meinst du das? Die harmonische Reihe ist in diesem Falll doch eine Majorante.

Wir haben $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + 1000} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+\frac{1000}{n^2}} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+\frac{1000}{n^2}}\geq \frac{1}{n+1000} \end{eqnarray*}$ .

04.01.2015, 12:11

Anaconda55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+\frac{1000}{n^2}}\geq \frac{1}{n+1000} \end{eqnarray*}$ .

Und warum divergiert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1000} \end{eqnarray*}$ ?

Was mache ich denn mit den 1000? Es steht doch noch nicht exakt die harmonische Reihe da?

04.01.2015, 12:53

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich viele Summanden sind für die Konvergenz nicht von Bedeutung, also gilt doch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1001}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1000} \end{eqnarray*}$ .

04.01.2015, 14:25

Anaconda55

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Danke. Mal wieder ganz einfach wenn man es verstanden hat.

Neue Frage »

Antworten »

Reihenkonvergenz/Divergenz

Verwandte Themen