Funktionentheorie Identitätssatz

29.12.2014, 10:36

BieneMaja

Funktionentheorie Identitätssatz

Hallo
Versuche mir gerade Beispiele und Gegenbeispiele für den Identitätssatz zu überlegen.
Die erste Verwirrung ergibt sich bei mir aus zwei unterschiedlichen Versionen des Identitätssatz:

Version I:
Sei G ein Gebiet und $\begin{eqnarray*} f,g:G \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph. Dann sind äquivalent:
i) $\begin{eqnarray*} f=g \forall z\in G \end{eqnarray*}$
ii) Die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in G: f(z)=g(z)\right\} \end{eqnarray*}$ besitzt einen Häufungspunkt in G

Version II:
Sei G ein Gebiet und $\begin{eqnarray*} f,g:G \rightarrow C \end{eqnarray*}$ holomorph. Dann sind äquivalent:
i) $\begin{eqnarray*} f=g \forall z\in G \end{eqnarray*}$
ii) Die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in G: f(z)=g(z)\right\} \end{eqnarray*}$ ist unendlich besitzt einen Häufungspunkt in G

Nun habe ich folgende Aussage, die nach dem Identitätssatz wahr ist:
Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) \end{eqnarray*}$ eine Folge in G mit Häufungspunkt in G und ist
$\begin{eqnarray*} f\left(a_{n}\right)=0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$

Was wäre, wenn ich $\begin{eqnarray*} a_{n} =1^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z)=z-1 \end{eqnarray*}$ setzten würde ? Dann hätte doch $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ den Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre holomorph auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre nicht konstant $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zur 1. Version des Identitätssatzes steht, bei der keine unendliche Menge voraussgesetzt wird. Andererseits können ja nur unendliche Mengen einen Häufungspunkt haben. Ich bin verwirrt

Vielen Dank schon im Voraus für eure Hilfe
Gruß Biene Wink

29.12.2014, 11:27

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RE: Funktionentheorie Identitätssatz
Wie du schon festgestellt hast, kann in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ überhaupt nur eine unendliche Menge einen Häufungspunkt haben. Deshalb wurde wohl in Version I die Forderung nach einer unendlichen Menge einfach weggelassen.
In deinem Beispiel ist 1 Häufungspunkt der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ aber nicht der Menge $\begin{eqnarray*} \{a_n\mid n\in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ . Die Menge hat ja nur zwei Elemente und damit gar keinen Häufungspunkt.

29.12.2014, 11:49

BieneMaja

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Vielen Dank URL für deine Antwort. Freude

Deine Argumentation kann ich nachvollziehen.
Wo ich noch Probleme habe: Ich sehe nicht, warum mein gewähltes Beispiel mit $\begin{eqnarray*} (a_n)=1^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z)=z-1 \end{eqnarray*}$ kein Gegebeispiel zu der Aussage "Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) \end{eqnarray*}$ eine Folge in G mit Häufungspunkt in G und ist
$\begin{eqnarray*} f\left(a_{n}\right)=0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} f(z)\equiv 0 \end{eqnarray*}$ " ist

29.12.2014, 12:27

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Zitat:

Nun habe ich folgende Aussage, die nach dem Identitätssatz wahr ist:
Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) \end{eqnarray*}$ eine Folge in G mit Häufungspunkt in G und ist
$\begin{eqnarray*} f\left(a_{n}\right)=0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$

Zuerst ist die Aussage so gar nicht vollständig. Was soll denn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sein?
Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ der Häufungspunkt der Folge ist, dann ist das sicher richtig, weil f natürlich stetig ist.

Aber aus der Existenz einer solchen Folge kann man im allgemeinen nicht auf $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in G \end{eqnarray*}$ schließen.
Denn dann würde eine einzige Nullstelle $\begin{eqnarray*} w\in G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reichen, damit $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist (wähle $\begin{eqnarray*} a_n=w \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ).

Eine solche Folge kann man immer angeben, sie garantiert aber nicht, dass der Häufungspunkt der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ auch ein Häufungspunkt der Menge $\begin{eqnarray*} \{f(z)=0\} \end{eqnarray*}$ ist.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist Häufungpunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} G\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es
eine Folge $\begin{eqnarray*} (b_n), b_n\in G, b_n\neq w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim b_n = w \end{eqnarray*}$ gibt.

Für $\begin{eqnarray*} f(z)=z-1 \end{eqnarray*}$ hat die Menge $\begin{eqnarray*} \{f(z)=0\}=\{1\} \end{eqnarray*}$ überhaupt keinen Häufungspunkt.
Da spielt es keine Rolle, dass 1 Häufungspunkt der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)=1^n \end{eqnarray*}$ ist.
Du kannst einfach keine Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ mit den oben genannten Eigenschaften angeben.

29.12.2014, 12:48

BieneMaja

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$\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ soll gelten $\begin{eqnarray*} \forall z \in G \end{eqnarray*}$

Verstehe ich es richtig, dass die Aussage
Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) \end{eqnarray*}$ eine Folge in G mit Häufungspunkt in G und ist
$\begin{eqnarray*} f\left(a_{n}\right)=0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall z \in G \end{eqnarray*}$
also falsch ist??? Wir haben sie in unserem Tutorium als wahr gekennzeichnet (Begründung war: Identitätssatz)

Es kommt also auf den Unterschied zwischen Folgenhäufungspunkt und Mengenhäufungspunkt an oder? Ich habe mir den entsprechenden wikipedia-Artikel dazu durchgelesen und das leuchtet mir auch ein.
Der Folgenhäufungspunkt nützt mir nichts, wenn er nicht auch Mengenhäufungspunkt von $\begin{eqnarray*} \{f(z)=0\} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

29.12.2014, 13:04

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Diese Aussage

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) \end{eqnarray*}$ eine Folge in G mit Häufungspunkt in G und ist
$\begin{eqnarray*} f\left(a_{n}\right)=0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall z \in G \end{eqnarray*}$

ist so in der Tat falsch, wie das Beispiel einer konstanten Folge zeigt.

Ja, der Unterschied zwischen Folgen- und Mengenhäufungspunkt ist hier entscheidend.

29.12.2014, 13:06

BieneMaja

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ok, vielen Dank URL Freude

Jetzt haben sich alle meine Fragen gelöst :-)
Viele Grüße
Biene Wink

29.12.2014, 13:09

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