Matrixexponential, Konvergenz

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixexponential, Konvergenz
Es sei eine natürliche Zahl und für seien
,
komplexe Matrizen. Man sagt, die Folge konvergiere gegen die Matrix falls für jedes Paar gilt


Man beweise: Für jede Matrix konvergiert die Reihe




Das ist eine Aufgabe vom 1.Semester, deshalb kann ich keine Operatornorm oder sonstiges benutzen wie in anderen Threads gesehen.
existiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen konvergiert.
Nach Aufgabentext konvergiert die Folge der Partialsummen genaudann wenn für jedes Paar die Folge für konvergiert.
Nun hab ich Probleme, was ist, denn ich kann ja nicht für allgemeine Potenzen von n aufschreiben. Ich hab das nun rekursiv versucht:

Sei A eine beliebige Matrix über den Körper der Komplexen Zahlen. Ich definiere die Fole d.h., usw. und wie in der Angabe ,
Sei die Einträge der Matrix ,dann ist wobei die Einträge von sind

Das kronecka-Delta für n=0 für die Einheitsmatrix.



ZZ.:Für jedes Paar konvergiert für .
d.h. wir müssen zeigen existiert für jedes Paar

Da komme ich nicht weiter...Quotientenkriterium und Majorantenkriterium hab ich schon ohne Erfolg versucht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixexponential, Konvergenz
Mit einer Matrix B, deren Elemente alle gleich dem Betrag des betragsmäßig größten Elements von A sind, bekommst du eine konvergente Majorante.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy,
also meine Vorüberlegungen stimmen so?

Ich hab versucht umzuformen mit deinen Hinweis:

induktiv...



Das erste maximum ist doch überflüssig?


konvergente Majorante für
Demnach konvergiert

Für Korrektur wäre ich dankbar,
lg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt war ich zu faul, deine Gleichungen im Detail zu verfolgen. Aber ich glaube, dass sie richtig sind. Meine Kurzfassung wäre so:

Sei



Dann ergibt sich durch vollständige Induktion



und ebenso durch vollständige Induktion



Damit ist die Majorante klar.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!! In der Schönschrift mache ich das auch mit einer seperaten Induktion, so wird es um einiges übersichtlicher.

Sry, ich schreib eben gerne erstmal alle Schritte kleinlich auf damit ich mir auch bei jedem sicher bin..
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