Addition der Fallunterscheidung

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29.12.2014, 13:40	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
Addition der Fallunterscheidung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, f(x) := \begin{cases} 2x & \text{für } x<2 \\ -\frac{1}{4}x^{2}+2 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g: \mathbb R \to \mathbb R, & g(x) := \begin{cases} e^{x} - e^{0} & \text{für } x \leq 0, \\ x^{2} \sqrt{x} & \text{für } x \in (0;4] \\ c, c \neq 32 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Ich soll diese Beiden Funktionen nun addieren. Ich verstehe nicht ganz, wie das gehen soll. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
29.12.2014, 20:02	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier nochmal die vollständige Aufgabe, falls ich da was falsch verstanden habe. Es geht um Aufgabeteil $\begin{eqnarray} c) \end{eqnarray}$ , der Rest ist mir klar.
29.12.2014, 20:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf die Multiplikation mit dem Skalar alpha ist alles ziemlich hässlich, deswegen vermutlich die Stille. Bei den anderen brauchst du einfach viele Fallunterscheidungen. Angefagen mit $\begin{eqnarray} x \leq 0 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (f+g)(x) = (2x) + (\exp(x) - \exp(0)) \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} 0 < x < 2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (f+g)(x) = \dots \end{eqnarray}$ , alternativ falls $\begin{eqnarray} 0 < x \leq 4 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} (f + g)(x) = \begin{cases}\dots \\ \dots \end{cases} \end{eqnarray}$ . Und so musst du alle Fälle abhandeln, die auftreten können. Das gleiche mit der Multiplikation.
29.12.2014, 20:44	Tipp	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichnen und dann graphisch addieren...
30.12.2014, 13:17	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles verstanden habe. Folgendes habe ich mir jetzt überlegt: $\begin{eqnarray} x \leq 0: \exp(x) - \exp(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x < 2 : 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in [0,2) : (\exp(x) - \exp(0))+2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in (0,4] : x^2 \sqrt{x} + \left(- \frac{1}{4} x^2 + 2 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{sonst: } c + \left( - \frac{1}{4} x^2 +2 \right), c \neq 32 \end{eqnarray}$ Zusammengefasst: $\begin{eqnarray} f,g: \mathbb R \to \mathbb R (f+g)(x)=<br /> \begin{cases} \exp(x) - \exp(0) & x \leq 0 \\ 2x & x < 2 \\ \exp(x) - \exp(0) + 2x & x \in [0,2) \\ x^2 \sqrt{x} + \left(- \frac{1}{4} x^2 + 2 \right) & x \in (0,4] \\ c + \left( - \frac{1}{4} x^2 +2 \right), c \neq 32 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$
30.12.2014, 14:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion ordnet jedem x nur ein einzigen Funktionswert zu. Welchen bekommt deine Funktion für x = 1?
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30.12.2014, 15:43	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss ich ja quasi sortieren: $\begin{eqnarray} \begin{cases} x < 2 \\ \text{sonst} \end{cases} + \begin{cases} x \leq 0 \\ x \in (0,4] \\ \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \begin{cases} x < 2 \\ \text{sonst} \end{cases} + \begin{cases} x \leq 0 \\ x \in (0,4] \\ \text{sonst} \end{cases} = \begin{cases} x \leq 0 \wedge x < 2 \\ x < 2 \wedge x \in (0,4] \\ x \in (0,4] \\ \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Es gibt also folgende Fälle: x ist $\begin{eqnarray} \leq 0 \end{eqnarray}$ und damit auch $\begin{eqnarray} < 2 \end{eqnarray}$ , x ist $\begin{eqnarray} <2 \end{eqnarray}$ , aber nicht $\begin{eqnarray} \leq 0 \end{eqnarray}$ , womit er auch $\begin{eqnarray} \in (0,4] \end{eqnarray}$ ist; x ist $\begin{eqnarray} \in (0,4] \end{eqnarray}$ , aber nicht $\begin{eqnarray} <2 \end{eqnarray}$ , oder eben $\begin{eqnarray} > 4 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \text{sonst} \end{eqnarray}$ . Stimmt das so weit? Ich sehe, dass für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ immer noch die beiden Bedingungen $\begin{eqnarray} x < 2 \wedge x \in (0,4] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in (0,4] \end{eqnarray}$ zutreffen, nur komme ich einfach nicht drauf, wie ich das beheben kann.
30.12.2014, 16:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal eine andere Idee: Male dir mal die reelle Achse auf, vom Intervall -1 bis 5. Dann kannst du alle kritischen Stellen auf der Achse eintragen. D.h. die Funktionen "springen" bei 0, 2 und 4. Diese Unterteilung gibt dir dann eine Unterteilung der Achse und damit deine Fallunterscheidungen.
31.12.2014, 13:19	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mit dem beigefügten Bild gearbeitet und einfach in allen Intervallen, in denen sich Graphen gedoppelt haben, addiert. Das ist mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} f,g: \mathbb R \to \mathbb R (f+g)(x) = \begin{cases} e^x - e^0 & x \leq 0 \\ 2x + x^2 \sqrt{x} & 0 < x <2 \\ x^2 \sqrt{x} & 2 <x <4 \\ -\frac{1}{4}x^2 + 2 + c , c \neq 32 & x > 4 \end{cases} \end{eqnarray}$
31.12.2014, 13:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon nicht so schlecht. Der 2. und 4. Fall passen. In den anderen Fällen steht dort nur g(x) und nicht f(x) + g(x). Desweiteren fehlen x = 2 und x=4 noch. Da sollten an einigen Stellen keine strikten Ungleichungen stehen.
01.01.2015, 17:11	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
So besser? $\begin{eqnarray} f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} (f+g)(x) = \begin{cases} e^x - e^0 + 2x & x \leq 0 \\ 2x + x^2 \sqrt{x} & 0 < x \leq 2 \\ x^2 \sqrt{x} - \frac{1}{4} x^2 + 2 & 2 < x \leq 4 \\ -\frac{1}{4} x^2 + 2 + c , c \neq 32 & x > 4 \end{cases} \end{eqnarray}$
01.01.2015, 19:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau Und für das Produkt f*g das gleiche, bloss multiplizierst du die entsprechenden Funktionswerte statt sie zu addieren.
01.01.2015, 19:49	Lukases2	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bedank' ich mich für deine Hilfe
01.01.2015, 19:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Und tut mir Leid. Gerade gesehen, dass du den falschen Wert für x = 2 setzt. D.h. die strikte Ungleichung muss an die andere Stelle.

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