Beweis von Stetigkeit

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Cyvasse Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Stetigkeit
Hi, allerseits. Ich bin grad mit folgender Aufgabenstellung beschäftigt und mir kommt das alles noch ein bisschen wie chinesisch vor. Deswegen hoffe ich, dass ihr mir etwas auf die Sprünge helfen könnt smile

Aufgabe

Sei eine im Punkt 0 stetige Funktion mit den Eigenschaften
und für alle

Zeigen Sie, dass f eine stetige Funktion ist.


Meine Ideen

Ich bin hier leicht überfordert, weil ich dazu sagen muss, dass das meine erste Aufgabe zur Stetigkeit überhaupt ist und mir möglicherweise noch ein paar grundlegende Denkschritte fehlen.

Meine Idee wäre hier gewesen mit dem Folgenkriterium zu arbeiten, weil dieses ja irgendwie nach nem Grenzwertsatz aussieht. Aber ich bin völlig verunsichert, wie ich hier eigentlich ansetzen muss...

Ich hoffe, ihr könnt mir n bisschen klarer machen, was hier eigentlich zu tun ist smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zeige zunächst mal für alle .

Zitat:
Meine Idee wäre hier gewesen mit dem Folgenkriterium zu arbeiten

Das kannst du tun. Wie fängt man denn beim Folgenkriterium immer an?
Cyvasse Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Hallo,

zeige zunächst mal für alle .


Da folgt
Also:

Zitat:
Zitat:
Meine Idee wäre hier gewesen mit dem Folgenkriterium zu arbeiten

Das kannst du tun. Wie fängt man denn beim Folgenkriterium immer an?


Ich hab mir das mit dem Folgenkriterium nochmal genau angesehen und durch den Kopf gehen lassen. Wird das nicht viel zu aufwendig?

f ist stetig an der Stelle genau dann, wenn für jede Folge , die gegen konvergiert, die Funktionswerte gegen konvergieren.

Das heißt doch, dass ich für jeden beliebigen Punkt der Funktion jede beliebige Folge untersuchen muss?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da folgt Also:


etwas merkwürdig aufgeschrieben, aber ich gehe mal davon aus, dass du das richtige meinst. Für deine Abgabe musst du das aber ordentlich aufschreiben.

Zitat:
Das heißt doch, dass ich für jeden beliebigen Punkt der Funktion jede beliebige Folge untersuchen muss?


Nein, man braucht nicht spezielle Folgen untersuchen. Man kann einfach mit Folgen allgemein arbeiten. (Man kann auch direkt mit der Definition der Stetigkeit arbeiten, aber ich dachte wir gehen mal den Weg, den du vorgeschlagen hast.

Beginne so: Sei beliebig. (Wir wollen jetzt Stetigkeit in zeigen.) Sei eine Folge mit . Du willst ja nun zeigen, dass dann . Betrachte dafür mal die Folge .
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyvasse
Da folgt

Wieso gilt das letzte "="? Es ist nicht vorausgesetzt, dass f linear ist (man kann das zeigen unter den Voraussetzungen, aber davon habe ich bis hier nichts gelesen).

/EDIT:
Es gilt natürlich schon, aber es fehlt noch das (saubere) Argument an der Stelle.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich mit merkwürdig aufgeschrieben.

Eigenlich müsste da stehen und die letzte Umformung ist obsolet.
Damit folgt dann das benötigte.

Man kann die Gleichung natürlich auch direkt zeigen, aber es spricht ja nichts gegen diesen Umweg.
 
 
Cyvasse Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal sorry, dass ich erst jetzt antworte! Urlaub ging vor Augenzwinkern

Gut, schreiben wir es so auf:

Wegen gilt


Besser?


Zitat:
Original von Guppi12
Beginne so: Sei beliebig. (Wir wollen jetzt Stetigkeit in zeigen.) Sei eine Folge mit . Du willst ja nun zeigen, dass dann . Betrachte dafür mal die Folge .


Laut Voraussetzung ist und . Daraus folgt für beliebig




Ist es das, worauf du hinaus wolltest?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Die erste Zeile ist es, worauf es ankommt. Die zweite Zeile ist trivial, da steht nur .
Dann war dir also doch noch nicht so klar, wie man zeigt. Wie genau wolltest du das denn aus folgern?

Zum zweiten Teil: Lass das mal aus dem Spiel. Wofür soll das gut sein?

Woraus folgt ? (Die Folgenklammern um den zweiten Term habe ich mal weggelassen, ich hoffe, dass das ein Flüchtigkeitsfehler war, ein Grenzwert ist ja schließlich etwas anderes als eine Folge.)
Cyvasse Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12

Dann war dir also doch noch nicht so klar, wie man zeigt. Wie genau wolltest du das denn aus folgern?


Da hast du völlig recht, das war/ist mir überhaupt nicht klar, da ich mit solchen Termen zuvor noch nicht hantiert hab. Den Begriff Funktion haben wir überhaupt erst in der Woche vor Weihnachten eingeführt und eine Vorlesung davon hab ich auch noch verpasst. Zusätzlich liegt mein Schulwissen etwas länger zurück, daher hab ich einfach mal intuitiv umgeformt. Ich sehe aber meinen Fehler.

Zitat:
Original von Guppi12
Zum zweiten Teil: Lass das mal aus dem Spiel. Wofür soll das gut sein?


Seh ich ein.

Zitat:
Original von Guppi12
Woraus folgt ? (Die Folgenklammern um den zweiten Term habe ich mal weggelassen, ich hoffe, dass das ein Flüchtigkeitsfehler war, ein Grenzwert ist ja schließlich etwas anderes als eine Folge.)


Ja, war ein copypaste-Fehler.

Ich habe jetzt schlicht angenommen, dass , da , und somit auch

Ich bin mir da aber keineswegs sicher Augenzwinkern leider.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe jetzt schlicht angenommen, dass , da


Aber das ist doch genau die Folgendefinition der Stetigkeit, die wir gerade nachweisen wollen. Das können wir also keinesfalls voraussetzen. Wir haben schließlich nur Stetigkeit in , nicht Stetigkeit in .

Wenn gegen konvergiert, wogegen konvergiert dann ?

Zitat:
Da hast du völlig recht, das war/ist mir überhaupt nicht klar, da ich mit solchen Termen zuvor noch nicht hantiert hab.

Nutze die von dir gefundene Beziehung für alle , um umzuformen.
Cyvasse Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Wenn gegen konvergiert, wogegen konvergiert dann ?


Okay, jetzt mal für doofe.
Wenn gegen konvergiert, dann ist der Grenzwert von . Eine Folge minus ihres Grenzwertes ist gleich 0, daher konvergiert gegen

Wenn das falsch ist, hab ich irgendwas Grundlegendes noch nicht geschnallt.

Zitat:
Original von Guppi12
Nutze die von dir gefundene Beziehung für alle , um umzuformen.


Da ist .
Weiterhin ist und daraus ergibt sich
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles richtig. Da wir Stetigkeit in haben, kannst du das Folgenkriterium der Stetigkeit also auf anwenden. Versuche damit mal weiterzukommen. Auch gerne etwas länger darüber nachdenken Augenzwinkern

Edit: Moment, wenn man von einer Folge ihren Grenzwert abzieht, ist das natürlich nicht gleich 0, sondern konvergiert gegen 0.
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