Beweis von Stetigkeit |
29.12.2014, 16:29 | Cyvasse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweis von Stetigkeit Aufgabe Sei eine im Punkt 0 stetige Funktion mit den Eigenschaften und für alle Zeigen Sie, dass f eine stetige Funktion ist. Meine Ideen Ich bin hier leicht überfordert, weil ich dazu sagen muss, dass das meine erste Aufgabe zur Stetigkeit überhaupt ist und mir möglicherweise noch ein paar grundlegende Denkschritte fehlen. Meine Idee wäre hier gewesen mit dem Folgenkriterium zu arbeiten, weil dieses ja irgendwie nach nem Grenzwertsatz aussieht. Aber ich bin völlig verunsichert, wie ich hier eigentlich ansetzen muss... Ich hoffe, ihr könnt mir n bisschen klarer machen, was hier eigentlich zu tun ist |
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29.12.2014, 16:34 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, zeige zunächst mal für alle .
Das kannst du tun. Wie fängt man denn beim Folgenkriterium immer an? |
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29.12.2014, 17:50 | Cyvasse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da folgt Also:
Ich hab mir das mit dem Folgenkriterium nochmal genau angesehen und durch den Kopf gehen lassen. Wird das nicht viel zu aufwendig? f ist stetig an der Stelle genau dann, wenn für jede Folge , die gegen konvergiert, die Funktionswerte gegen konvergieren. Das heißt doch, dass ich für jeden beliebigen Punkt der Funktion jede beliebige Folge untersuchen muss? |
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29.12.2014, 18:02 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
etwas merkwürdig aufgeschrieben, aber ich gehe mal davon aus, dass du das richtige meinst. Für deine Abgabe musst du das aber ordentlich aufschreiben.
Nein, man braucht nicht spezielle Folgen untersuchen. Man kann einfach mit Folgen allgemein arbeiten. (Man kann auch direkt mit der Definition der Stetigkeit arbeiten, aber ich dachte wir gehen mal den Weg, den du vorgeschlagen hast. Beginne so: Sei beliebig. (Wir wollen jetzt Stetigkeit in zeigen.) Sei eine Folge mit . Du willst ja nun zeigen, dass dann . Betrachte dafür mal die Folge . |
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29.12.2014, 18:41 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso gilt das letzte "="? Es ist nicht vorausgesetzt, dass f linear ist (man kann das zeigen unter den Voraussetzungen, aber davon habe ich bis hier nichts gelesen). /EDIT: Es gilt natürlich schon, aber es fehlt noch das (saubere) Argument an der Stelle. |
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29.12.2014, 18:53 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das meinte ich mit merkwürdig aufgeschrieben. Eigenlich müsste da stehen und die letzte Umformung ist obsolet. Damit folgt dann das benötigte. Man kann die Gleichung natürlich auch direkt zeigen, aber es spricht ja nichts gegen diesen Umweg. |
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01.01.2015, 17:33 | Cyvasse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstmal sorry, dass ich erst jetzt antworte! Urlaub ging vor Gut, schreiben wir es so auf: Wegen gilt Besser?
Laut Voraussetzung ist und . Daraus folgt für beliebig Ist es das, worauf du hinaus wolltest? |
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01.01.2015, 20:04 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die erste Zeile ist es, worauf es ankommt. Die zweite Zeile ist trivial, da steht nur . Dann war dir also doch noch nicht so klar, wie man zeigt. Wie genau wolltest du das denn aus folgern? Zum zweiten Teil: Lass das mal aus dem Spiel. Wofür soll das gut sein? Woraus folgt ? (Die Folgenklammern um den zweiten Term habe ich mal weggelassen, ich hoffe, dass das ein Flüchtigkeitsfehler war, ein Grenzwert ist ja schließlich etwas anderes als eine Folge.) |
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01.01.2015, 20:19 | Cyvasse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da hast du völlig recht, das war/ist mir überhaupt nicht klar, da ich mit solchen Termen zuvor noch nicht hantiert hab. Den Begriff Funktion haben wir überhaupt erst in der Woche vor Weihnachten eingeführt und eine Vorlesung davon hab ich auch noch verpasst. Zusätzlich liegt mein Schulwissen etwas länger zurück, daher hab ich einfach mal intuitiv umgeformt. Ich sehe aber meinen Fehler.
Seh ich ein.
Ja, war ein copypaste-Fehler. Ich habe jetzt schlicht angenommen, dass , da , und somit auch Ich bin mir da aber keineswegs sicher leider. |
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01.01.2015, 20:31 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber das ist doch genau die Folgendefinition der Stetigkeit, die wir gerade nachweisen wollen. Das können wir also keinesfalls voraussetzen. Wir haben schließlich nur Stetigkeit in , nicht Stetigkeit in . Wenn gegen konvergiert, wogegen konvergiert dann ?
Nutze die von dir gefundene Beziehung für alle , um umzuformen. |
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01.01.2015, 21:06 | Cyvasse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, jetzt mal für doofe. Wenn gegen konvergiert, dann ist der Grenzwert von . Eine Folge minus ihres Grenzwertes ist gleich 0, daher konvergiert gegen Wenn das falsch ist, hab ich irgendwas Grundlegendes noch nicht geschnallt.
Da ist . Weiterhin ist und daraus ergibt sich |
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01.01.2015, 21:13 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist alles richtig. Da wir Stetigkeit in haben, kannst du das Folgenkriterium der Stetigkeit also auf anwenden. Versuche damit mal weiterzukommen. Auch gerne etwas länger darüber nachdenken Edit: Moment, wenn man von einer Folge ihren Grenzwert abzieht, ist das natürlich nicht gleich 0, sondern konvergiert gegen 0. |
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