Absolute Konvergenz komplexer Reihen

29.12.2014, 18:33	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz komplexer Reihen Hallo, Eine komplexe Zahlenfolge konvergiert ja genau dann, wenn die reellen Folgen bestehend aus Realteil und Imaginärteil konvergieren. $\begin{eqnarray} lim z_n=z \iff lim Re z_n=Re z, lim Im z_n =Im z \end{eqnarray}$ Wir haben definiert, dass eine Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty c_k \end{eqnarray}$ genau dann konvergent ist wenn die Folge der Partilsummen $\begin{eqnarray} (s_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_n:=\sum_{k=0}^n c_k \end{eqnarray}$ konvergent ist in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Dementsprechen konvergiert eine Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty c_k \end{eqnarray}$ gau dann wenn Realteil der Partialsummen und Imaginärteil der Partialsummen konvergieren. Meine Frage ist nun: Gibt es einen Zusammenhang/Satz zwischen absoluter Konvergenz von den Real und Imaginärteil der Partialsummen und der absoluten Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty c_k \end{eqnarray}$ ?? $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty c_k \end{eqnarray}$ konvergiert absolut genau dann wenn $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \|c_k\| \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ konvergiert. LG
29.12.2014, 19:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt einen, und es ist sogar der den man gerne hätte. D.h. absoluten Konvergenzen entsprechen sich auch. Das kann man einfach zeigen indem man die Partialsumme $\begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^n \| { c_k}\| \end{eqnarray}$ geeignet nach oben und unten gegen die Imaginär- und Realteile abschätzt.
29.12.2014, 22:20	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty c_k \end{eqnarray}$ konvergiert absolut nach Definition wenn $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \|c_k\| \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ konvergiert. D.h. es reicht zuzeigen, dass die Folge der Partialsumme $\begin{eqnarray} s_n:=\sum_{k=0}^n \|c_k \| \end{eqnarray}$ konvergiert, da wir nur positive Glieder haben reicht die Beschränktheit der Partialsumme nach oben aus. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \|c_k\| = \sum_{k=0}^n\|Re(c_k)+i Im(c_k)\|\le \sum_{k=0}^n \|Re(c_k)\|+\|Im(c_k)\|= \sum_{k=0}^n \|Re(c_k)\|+\sum_{k=0}^n \|Img(c_k)\| <\infty \end{eqnarray}$ Und andersrum? Es konvergiere $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty c_k \end{eqnarray}$ absolut. $\begin{eqnarray} \infty>\sum_{k=0}^n \|c_k \|\ge \sum_{k=0}^n \|Re(c_k)\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \infty>\sum_{k=0}^n \|c_k\| \ge \sum_{k=0}^n \|Im(c_k)\| \end{eqnarray}$ Genauso wie oben folgt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \|Re(c_k)\|, \sum_{k=0}^\infty \|Im(c_k)\| \end{eqnarray}$ konvergieren also absolut. Okay?
29.12.2014, 22:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau Vielleicht noch einen kleinen Kommentar zu den Partialsummen: Die Argumente gehen 1:1 für Reihen durch, aber dort ist a priori alles nur formel. Ohne zu wissen, dass die entsprechenden Grenzwerte existieren, stehen dort "undefinierte" Ausdrücke. Abschätzungen wie die Dreiecksungleichung sind dort "sinnfrei". Damit es klarer wird, dass die Schranke unabhängig von n ist (das eine endliche Summe nicht unendlich ist, ist witzlos) würde ich noch ergänzen: Für die Hinrichtung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \|c_k\| = \sum_{k=0}^n\|Re(c_k)+i Im(c_k)\|\le \sum_{k=0}^n \|Re(c_k)\|+\|Im(c_k)\|= \sum_{k=0}^n \|Re(c_k)\|+\sum_{k=0}^n \|Im(c_k)\| \leq \sum_{k=0}^\infty \|Re(c_k)\|+\sum_{k=0}^\infty \|Im(c_k)\| <\infty \end{eqnarray}$ und für die Rückrichtung $\begin{eqnarray} \infty>\sum_{k=0}^\infty \|c_k \| \geq \sum_{k=0}^n \|c_k \|\ge \sum_{k=0}^n \|Re(c_k)\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \infty>\sum_{k=0}^\infty \|c_k \| \geq \sum_{k=0}^n \|c_k\| \ge \sum_{k=0}^n \|Im(c_k)\| \end{eqnarray}$ .
29.12.2014, 22:54	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da hast du recht! Vielen Dank, sissi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »