Permutation bestimmen

29.12.2014, 19:08

schachtelkopf

Permutation bestimmen

Meine Frage:
Hey Leute,

folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} \alpha =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 7 & 4 & 1 & 3 & 2 & 6 \end{pmatrix} \in S_7 \end{eqnarray*}$

Ich soll nun ein $\begin{eqnarray*} \beta \in S_7 \end{eqnarray*}$ finden, dass

$\begin{eqnarray*} \beta \alpha \beta^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Leider habe ich keine ahnung wie ich das bestimmen soll?
Gibt es dazu ein bestimmtes vorgehen ?

Bitte um Hilfe smile

lg schachtelkopf

29.12.2014, 20:04

Mathema

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Setze doch mal an:

$\begin{eqnarray*} \beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a & b & c & d & e & f & g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und somit auch:

$\begin{eqnarray*} \beta^{-1} =\begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun geht es mit der Komposition weiter:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \beta \alpha \beta^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.12.2014, 20:47

schachtelkopf

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hey danke

aber ich komm einfach nicht drauf traurig

29.12.2014, 21:34

Mathema

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Nur kurz: Schreibe mal bitte die linke Seite deiner Gleichung als eine Permutation. Versuch es mal.
Ich guck mir das denn an, wenn ich wieder zu Hause bin. Ansonsten schreibe ich dann noch mal ausführlicher.

06.01.2015, 15:23

schachtelkopf

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a & b & c & d & e & f & g \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 7 & 4 & 1 & 3 & 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so hatte ich mir das aufgeschrieben....
hatte zuerste versucht was mit $\begin{eqnarray*} \beta, \beta^{-1} \end{eqnarray*}$ zu machen bin aber gescheitert.

06.01.2015, 15:30

Mathema

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a & b & c & d & e & f & g \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 7 & 4 & 1 & 3 & 2 & 6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So wir wollen die Komposition bilden, dafür beginnen wir rechts. Für das a mache ich dir das einmal vor.

$\begin{eqnarray*} a \rightarrow 1 \rightarrow 5\rightarrow e \end{eqnarray*}$

Also können wir schon mal eintragen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ e & ? & ? & ? & ? & ? & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kannst du nun die Permutation einmal vervollständigen?

06.01.2015, 15:36

schachtelkopf

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ e & g & d & a & c & b & f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok soweit komm ich noch mit .. nur ich hab das so gemacht das ich dann immer

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ e & g & d & a & c & b & f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dastehen hatte.. warum nimmst du a-g ?

06.01.2015, 15:43

Mathema

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Nun ja, so ist eine Permutation doch definiert. In der Zeile oben stehen die Zahlen und in der zweiten Zeile die Funktionswerte. Ich ordne ja einer Zahl einen Funktionswert hier zu - und nicht umgekehrt.

Wunderbar - wir erhalten also die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ e & g & d & a & c & b & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun würde ich das einmal in Zykelschreibweise bringen. Kannst du das einmal machen?

06.01.2015, 15:53

schachtelkopf

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$\begin{eqnarray*} (a e c d )(b g f ) = ( 1 2 3 4 )( 5 6 7) \end{eqnarray*}$

so hier mal die zyklenschreibweise.

zu der erklärung warum du a-g benutzt oberhalb anstatt 1-7 hab ich nicht so recht verstanden ? verwirrt

06.01.2015, 16:02

Mathema

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Eine Permutation $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als Matrix geschrieben, besitzt doch in der ersten Zeile Zahlen, und in der zweiten Zeile die Funktionswerte, also die Zahlen, auf die die Permutation obige Werte abbildet.

$\begin{eqnarray*} \pi = \begin{pmatrix}1 & 2 & ... & n \\ \pi(1) & \pi(2) & ... & \pi(n) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir fragen uns doch nun, auf was das a bis g abgebildet wird, nach Durchlauf der Komposition $\begin{eqnarray*} \beta \alpha \beta^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Die Zykelschreibweise passt. Freude

Wir hatten geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a & b & c & d & e & f & g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun brauchen wir ja nur noch vergleichen und ersetzen. Ich wieder für das a:

$\begin{eqnarray*} \beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & b & c & d & e & f & g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kannst du das nun wieder vervollständigen?

06.01.2015, 16:14

schachtelkopf

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$\begin{eqnarray*} \beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 & 7 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ???

ok also hab ich das dann recht verstanden... dadurch das ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a & b & c & d & e & f & g \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 7 & 4 & 1 & 3 & 2 & 6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bilde und hinten anfange ..

also bei a muss ich ja dann eine Permutation bekommen der form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b & c & d & e & f & g \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder steh ich jetzt toatal auf dem schlauch ?

06.01.2015, 16:16

Mathema

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Das siehst du völlig richtig und auch dein Ergebnis passt wunderbar, wie auch eine Probe bestätigen sollte.

Freude

06.01.2015, 16:22

schachtelkopf

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