Untervektorraum

29.12.2014, 20:11

martinio

Untervektorraum

Hallo zusammen Wink

zu zeigen ist, ob $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in \mathbb R^{3} ;{x_{1}}^{2} = {x_{2}}^{2} \right\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ddes $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist , oder nicht.

Ich habe ein einfaches Gegenbeispiel mit den Vektoren $\begin{eqnarray*} \left(1, 1, 0\right) ^{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(1, -1, 0\right) ^{T} \end{eqnarray*}$ gefunden. Die Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition schlägt dort fehl. Allerdings weiß ich nicht, wie man es allgemeiner, ohne direktes Beispiel, zeigen kann. Kann mir jmd. helfen?

Vielen Dank

29.12.2014, 20:22

Mulder

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RE: Untervektorraum

Zitat:

Original von martinio
Allerdings weiß ich nicht, wie man es allgemeiner, ohne direktes Beispiel, zeigen kann.

Ein konkretes Gegenbeispiel anzugeben ist doch völlig in Ordnung. Da wird niemand in irgendeiner Form mehr von dir verlangen oder erwarten. Ich weiß nicht, was du da "allgemeiner" machen willst.

Du hast die Abgeschlossenheit bezüglich Addition widerlegt. Damit ist es kein UVR. Aufgabe zu 100% gelöst.

30.12.2014, 00:05

martinio

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Danke Mulder für die Antwort !

Habe noch einen weiteren Untervektorraum, bei dem ich mir nicht so recht sicher bin.

$\begin{eqnarray*} U_2 = \left\{ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in \mathbb R^{3} ; {x_{1}}^2+{x_{2}}^2+{x_{3}}^2 = 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

Die Vektorrmenge $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ scheint zunächst abgeschlossen bzgl. der Vektoradditon, als auch der Multiplikation mit Skalaren:

$\begin{eqnarray*} \text{1.}\forall u,v\in U_{2}: u + v = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} \in U_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2.}\forall \lambda \in \mathbb R \wedge v \in U_2: \lambda \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda v_2 \\ \lambda v_2 \\ \lambda v_3 \end{pmatrix} \in U_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{3.Nebenbedinung}: {x_{1}}^2+{x_{2}}^2+{x_{3}}^2 \Leftrightarrow {z_{1}}^2+{z_{2}}^2+{z_{3}}^2: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(u_1+v_1\right)^2 +\left(u_2+v_2\right) ^2+\left(u_3+v_3\right) ^2 \neq u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2+u_3^2+v_3^2 = \underbrace{u_1^2+u_2^2+u_3^2}_{\substack{=0}}+\underbrace{v_1^2+v_2^2+v_3^2}_{\substack{=0}}=0 \end{eqnarray*}$

Daher kann die Menge $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ nur dann ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ sein, wenn diese ausschließlich aus dem Nullvektor besteht, für alle anderen ist die Nebenbindung nicht erfüllt: $\begin{eqnarray*} U_2 = \left\{ \left\{ 0\right\}, +, \cdot\right\} \subseteq \mathbb R^3<br /> \end{eqnarray*}$

Wäre die Argumentation so in Ordnung?

30.12.2014, 00:20

Mulder

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In U2 liegt nur der Nullvektor, ja. Denn im Reellen sind alle Quadrate nichtnegativ. Und dieser Nullvektor bildet mit den üblichen Verknüpfungen natürlich einen Untervektorraum, ja.

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