Endliche Vereinigung

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29.12.2014, 23:57	k.j	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Vereinigung Guten Abend, [attach]36589[/attach] a)Da, alle A_n beschränkt sind gibt es ein maximum c sodass für alle n abs(A_n)<c und damit auch A b) Sei u_n in A und es gibt den grenzwert von un mit u, betracte eine teilfolge von un mit u_i die in Ai liegt, da A_i abgeschlossen gibt es eine teilfolge von u_i die gegen a konvergiert und a in A_i liegt es würde angenommen, dass u_n konvergiert und damit konvergieren alle Teilfolgen gegen u u= lim u_n=lim a_i= a und damit liegt u in A_i also auch in A
30.12.2014, 12:11	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Beschränkt heißt, es gibt ein $\begin{eqnarray} c_j>0 \end{eqnarray}$ sodass für alle $\begin{eqnarray} a_j\in A_j \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|a_j\|\leq c_j< \end{eqnarray}$ gilt. Seien alle $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ beschränkt. Dann ist $\begin{eqnarray} c=\max_{1\leq j\leq N} c_j \end{eqnarray}$ eine Schranke von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . b) Hier würde ich nutzen, dass alle $\begin{eqnarray} A_j^C \end{eqnarray}$ offen sind, oder zeige, dass $\begin{eqnarray} A=\overline{A} \end{eqnarray}$ . c) Wie kannst du sehen, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abgeschlossen und beschränkt ist? d) Hier reicht es geeignete Intervalle zu wählen. e) Auch hier sind geeignete Intervalle zu wählen.
30.12.2014, 22:58	k.j	Auf diesen Beitrag antworten »
zu b) wir haben die Abgeschlossenheit so def: wenn eine eine folge a_n in A liegt und a_n gegen a geht, dann liegt auch a in A zu c) aus a und b folgt die Kompaktheit zu d) $\begin{eqnarray} A_i\left \{ i \right \} \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} A_1\left \{ 1\right \} \end{eqnarray}$ damit beschränkt, aber die Vereinigung nicht e) k.a
31.12.2014, 10:10	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
e) $\begin{eqnarray} A_j=[0,1-\frac{1}{j}] \end{eqnarray}$ .
31.12.2014, 20:27	k.j	Auf diesen Beitrag antworten »
b) Sei $\begin{eqnarray} u_n \in A_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x->\infty}u_n=u \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ abgeschlossen gibt es für $\begin{eqnarray} u_n \in A_i \end{eqnarray}$ eine konvergierte teilfolge mit $\begin{eqnarray} \lim_{x->\infty}u_i=a \in A_i \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \lim_{x->\infty}u_n=u \end{eqnarray}$ muss auch $\begin{eqnarray} \lim_{x->\infty}u_i=u \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} u=a \end{eqnarray}$ ich habe k.a ob man das so machen darf
01.01.2015, 01:06	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du von y2= 3/2 y0 = 3/2 3/1 y0 ausgehst und die gegebene Rekursionsformel ein paarmal anwendest y3 = 3/3 y2 = .... y4 = 3/4 *y3 = .... siehst du die explizite Formel für yk sofort! yk hängt dann nur noch von y0 ab! (das meinte ich mit 'das erste Glied muss gegeben sein!) wünsche dir ein gutes neues Jahr! Tut mir leid, habe die falsche Frage beantwortet! :-)
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02.01.2015, 10:43	k.j	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komm bei der b einfach nicht weiter..
02.01.2015, 10:52	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ konvergiert, so ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_n\to a\in A \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} A=\bigcup_{J=1}^N A_j \end{eqnarray}$ , muss es f.a. $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} 1\leq J\leq N \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} a_n\in A_J \end{eqnarray}$ . Jetzt nutze die Voraussetzung.
02.01.2015, 11:32	k.j	Auf diesen Beitrag antworten »
1)A_j abgeschlossen 2)Sei a_n eine Folge in A und die konvergiert 3)Da A eine Vereinigung von A_j darstellt ist a_n in ein A_j Wegen 1) muss der Grenzwert von a_n in A_j liegen und damit auch in A Da a_n beliebig war, ist A abgeschlossen.
02.01.2015, 11:35	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine endliche Vereinigung ist, muss es in einem $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ unendlich viele Folgenglieder geben. Wenn $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ konvergent ist, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert, also nach Voraussetzung gegen ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ . Der erste Teil sorgt auch dafür, dass das bei abzählbaren Vereinigungen nicht mehr klappt.
02.01.2015, 11:52	k.j	Auf diesen Beitrag antworten »
mit deinen Ergänzungen ist die b gelöst?
02.01.2015, 11:53	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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