Irrationale Zahlen und 1.4 Rationale Zahl

30.12.2014, 13:12

gutschein

Irrationale Zahlen und 1.4 Rationale Zahl

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu folgender Definition
Sind irrationale Zahlen das Gegenteil von Rationalen Zahlen.
z.B. 3,5 /8 = 0,4375

Oder sind irrationale Zahlen alle Zahlen die ein unendliches Ergebnis haben, wie Pi oder die Wurzel aus 2?

Wenn 3,5/8 = 0,4375 ist und 3/4 = 07,75 ist
sind dann beide Brücke Rational, da diese ein endliches Ergebnis haben?

Wäre um Hilfe sehr dankbar

30.12.2014, 13:21

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sind irrationale Zahlen das Gegenteil von Rationalen Zahlen.

Was ist denn das Gegenteil?

Zitat:

Oder sind irrationale Zahlen alle Zahlen die ein unendliches Ergebnis haben, wie Pi oder die Wurzel aus 2?

was ist ein unendliches Ergebnis? So wie ich vermute müsste demnach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}=0,\overline{3} \end{eqnarray*}$ irrational sein?

Eine irrationale Zahl kann nicht als endlich bzw. periodische Dezimalzahl angegeben werden.

Alle von dir angegebenen Zahlen sind rational, es ist auch unmöglich auf diese Art eine irrationale Zahl darzustellen.

Rational sind alle Zahlen, die sich als $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ darstellen lassen. Daraus folgt mit den üblichen Rechenregeln, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\frac{n'}{m'} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n'\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) wieder eine rationale Zahl ist.

30.12.2014, 13:55

gutschein

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe.

Was Irrationale Zahlen angehen ist mir nun klar geworden.
Diese können nicht als Brüche dargestellt werden, da sie unendlich sind, und nicht periodisch.
Richtig?

Was ich aber nicht verstehe ist folgende Aussage

Quelle:
http://www.gutefrage.net/frage/was-sind-rationale-zahlen

Zitat:

rational sind alle ganzen Zahlen und dazu noch die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind

Nochmal zu meinem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{3,5}{8} \end{eqnarray*}$ = 0,4375
Somit ist dies eine Reale Zahl, da sie ein Endliches Ergebnis hat.
Dennoch ist im Zähler keine ganze Zahl, sondern eine Kommazahl 3,5 gegeben.
Im Merksatz heißt es aber, dass nur ganze Zahlen in den Brüchen bei rationalen zahlen stehen dürfen. Das verwirrt mich total

Zitat:

• Darunter versteht man alle Zahlen, die man als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann.

30.12.2014, 14:04

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

rational sind alle ganzen Zahlen und dazu noch die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind

Das habe ich ja oben schon geschrieben, wobei hier zumindest noch gesagt werden müsste, dass die Null nicht im Nenner stehen soll.

EDIT: Eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist insb. eine rationale Zahl, denn $\begin{eqnarray*} a=\frac{a}{1} \end{eqnarray*}$ .

Im Prinzip ist meine Definition

Zitat:

Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ der rationalen Zahlen besteht aus allen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

die Kurzfassung, es steckt aber genau das gleiche drin. Wenn ich noch Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ fordern würde, wäre die Darstellung sogar schon eindeutig.

Zitat:

Nochmal zu meinem Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{3,5}{8} \end{eqnarray*}$ = 0,4375 Somit ist dies eine Reale Zahl, da sie ein Endliches Ergebnis hat.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} 3.5=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{3,5}{8}=\frac{\frac{7}{2}}{8} \end{eqnarray*}$ und mit den üblichen Rechengesetzen gilt weiter $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{7}{2}}{8} = \frac{7}{16} \end{eqnarray*}$ . Damit entspricht es wieder der Definition.

30.12.2014, 15:07

gutschein

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank

Jetzt habe ichs.
Durch meine Hinterfragerei habe ich mir selbst ein Ei gelegt.
Was bedeutet eigentlich dein P / q?
Mir sind die Variabeln nicht geläufig.

Q = Menge
a = Zahl
E = ?
Z = ?
q = ?
p =?

30.12.2014, 15:13

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist eine ganze Zahl, $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ eine natürliche.

30.12.2014, 16:14

gutschein

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, jetzt ist alles klaro.

Natürliche Zahlen = 0 1 2 3 usw
Ganze Zahlen = 0 1 2 3 Plus negative Ganze Zahlen -1 -2 -3
Rationale Zahlen = 0 1 2 3 Plus negative Ganze Zahlen -1 -2 -3 Plus Kommazahlen oder Periodische Zahlen
Reelle Zahlen 0 1 2 3 Plus negative Ganze Zahlen -1 -2 -3 Plus Kommazahlen oder Periodische Zahlen Plus Irrationale Zahlen

Anmerkung: Irrationale Zahlen sind unendlich und nicht perriodisch

Aber für was braucht man das alles?
Um Ordnung in einen Zahlenhaufen zu bekommen?
Ich suche gerade den Sinn darin

31.12.2014, 01:42

gutschein

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi nochmal,

es lässt mir doch keine Ruhe.
Mir ist nun klar, dass die Reellen-Zahlen praktisch ein aufzeigendes "Päckchen" ist.
Zuerst kommen die Natrülchen Zahlen + Ganze Zahlen + Rationelle Zahlen.

Jetzt kommt die "Außnahme die Irrationalen-Zahlen, da diese nicht die anderen Zahlen beinhalten, sondern so zusagen ein eigens unabhängiges Päckchen darstellt, welche zum Schluss dazugehört, um die Reellen-Zahlen zu definieren.

Im Mathebuch ist ein Quadrat mit A=2 Quadratzentimiert.
Per Näherung wurde erklärt dass dann eine Seite 1,414 cm ist.
Das wäre dann eine Irationale Zahl.

Ich machte für mich dann das Beispiel mit einem Quadrat, das 0,5625 Qudratcentimert Fläche hat.
Somit wäre dann eine Seite 0,75cm = Rationale Zahl.

Frage:
Wie so ist es wichtig bzw. von Vorteil unterscheiden zu können, was eine
Rationale-Zahl ist, und was eine Irrationale-Zahl ist.

Kann jemand vielleicht ein einfaches Anwendungsbeispiel aufzeigen, wo man erkennt, dass diese zwei Zahlenarten wichtig zu unterscheiden sind.

Im Internet finde ich immer nur das Quadrat mit den Seitenlängen x cm und der Fläche 2 Quadratcendimeter.

Vielen Dank

31.12.2014, 02:13

gutschein

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi nochmal,

PS: Zur obigen Umrechnung
Hier Irritiert mich jedoch, dass 0,75cn eine größer Zahl ist als 0,5625 Quadratcentimeter.
Denn rechne ich 2cm mal 2 cm wird die Fläche 4cm2 also doppelt so groß.
Ich weiß dass 1/2 mal 1/2 nicht ein Ganzes sondern 1/4 ist jedoch habe ich nie darüber nachgedacht. Wenn ich aber ein Bauplatz habe, der 1/2Km mal 1/2Km =1/4 Qudratkilometer ist, ist das verwirrender wie wenn ich rechne 500m mal 500m =250000m =0,25 Qudratkilometer.
Wie kann man sich selbst dies logisch erklären, dass 0,Zahlen kleiner werden, wenn man diese Multipliziert?

Vielen Dank

31.12.2014, 10:31

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie kann man sich selbst dies logisch erklären, dass 0,Zahlen kleiner werden, wenn man diese Multipliziert?

Zu jeder Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<y<1 \end{eqnarray*}$ gibt es rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} r,s\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} r\leq y\leq s \end{eqnarray*}$ gilt.
Dabei ist $\begin{eqnarray*} r=\frac{p}{q},s=\frac{p'}{q'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p<q,p'<q' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Jetzt kommt die "Außnahme die Irrationalen-Zahlen, da diese nicht die anderen Zahlen beinhalten, sondern so zusagen ein eigens unabhängiges Päckchen darstellt, welche zum Schluss dazugehört, um die Reellen-Zahlen zu definieren.

Nein, es gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Im Mathebuch ist ein Quadrat mit A=2 Quadratzentimiert. Per Näherung wurde erklärt dass dann eine Seite 1,414 cm ist. Das wäre dann eine Irationale Zahl.

Eine Seite ist dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ cm lang, und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist eine irrationale Zahl.

Zitat:

Rationale Zahlen = 0 1 2 3 Plus negative Ganze Zahlen -1 -2 -3 Plus Kommazahlen oder Periodische Zahlen

Nein. Es fehlen die Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Irrationale Zahlen und 1.4 Rationale Zahl

Verwandte Themen