Schwingende Saite mit Fourier

30.12.2014, 15:04

Manecas

Schwingende Saite mit Fourier

Meine Frage:
Hallo zusammen,

leider brauche ich bei der folgenden Aufgabe Starthilfe, da die recht kurze Behandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen nun schon etwas länger zurückliegt.
Es geht um folgende Aufgabe:
Eine Saite der L?änge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sei in den Punkten x=0 und x= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ fest eingespannt. Die Saite wird z.B. durch Zupfen in Bewegung versetzt und hat im Punkt x zur Zeit t eine gewisse Auslenkung u(x,t) und eine Auslenkungsgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \partial_{t}(u) \end{eqnarray*}$ . Das Bewegungsgesetz der Saite ist die partielle Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$
auf (0, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ), t>0, c>0
$\begin{eqnarray*} u(0,t)=u(\pi,t) \forall t\in [0,\infty )<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x,0)=u_{0}(x), \partial_{t} u(x,0)=u_{1}(x) \forall x\in [0,\pi]<br /> \end{eqnarray*}$
Hierbei sind $\begin{eqnarray*} u_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{1} \end{eqnarray*}$ zwei gegebene Funktionen mit $\begin{eqnarray*} u_{0}(0)=u_{1}(0)=0 \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} u_{0}(\pi)=u_{1}(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ .
Wir suchen eine Lösung in Form einer Fourier-Reihe gegeben durch

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=\sum\limits_{k=1}^\infty b_{k}(t)sin(kx) \end{eqnarray*}$

Nun soll im ersten Aufgabenteil eine gewöhnliche Differentialgleichung für die $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ und deren allgemeine Lösung bestimmt werden.

Meine Ideen:
Meine Idee war es, nun die angegebene Formel für u in die partielle Differentialgleichung einzusetzen. Leider mit mäßigem Erfolg ...
Ich komme dann zur Form

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty b''_{k}(t)sin(kx)=c^2 \sum\limits_{k=1}^\infty b_{k}(t)k^2(-sin(kx)) \end{eqnarray*}$

Macht dieser Ansatz Sinn? Ich weiß leider von hier nicht, wie ich die Faktoren bestimmen kann.

30.12.2014, 16:46

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RE: Schwingende Saite mit Fourier
So mäßig ist das doch nicht Augenzwinkern

Das Minuszeichen aus der Sinusfunktion auf der rechten Seite kannst du herausziehen.
Dann stehen auf der rechten und linken Seite die gleichen Sinusfunktionen und du kannst die zugehörigen Koeffizienten gleichsetzen.
Letztlich steckt dahinter die Orthogonalität der Sinusfunktionen.

31.12.2014, 16:43

Manecas

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Ach, vielen Dank!
Ich kann also $\begin{eqnarray*} b''_{k}(t)=-c^2k^2b_{k}(t) \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und so zu der Lösung $\begin{eqnarray*} b_{k}(t)=e^{ick\cdot t} \end{eqnarray*}$ kommen.

Was mich nun jedoch noch mehr verunsichert, ist der nächste Aufgabenteil. Dort sollen Kandidaten für die Lösung von u mit den Anfangsdaten $\begin{eqnarray*} u_{j}(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty c_{k}^j sin(kx), j\in \left\{ 0,1\right\} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
Habe ich nicht durch die $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ aus dem ersten Aufgabenteil die Lösung bestimmt?
Ich frage mich was die $\begin{eqnarray*} c_{k}^j \end{eqnarray*}$ nun darstellen.

Vielen Dank für weitere Hilfe!

31.12.2014, 17:05

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So wie du es jetzt gelöst hast, bleibt in deiner Funktion u kein einziger freier Parameter, mit dem du die Lösung an die Anfangsbedingungen anpassen könntest. Das wird also nicht richtig sein Augenzwinkern

Denk nochmal über die allgemeine Lösungen der DGL für $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ nach. Hier würde ich übrigens die reellen Lösungen bevorzugen.

01.01.2015, 15:56

Manecas

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Reelle Lösungen für $\begin{eqnarray*} b_{k}(t) \end{eqnarray*}$ wären z.B. $\begin{eqnarray*} b_{k}(t)=sin(ckt) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_{k}(t)=cos(ckt) \end{eqnarray*}$ .
Ist denn nicht c ein freier Parameter, der angepasst werden kann?
Ich habe die Gleichung nur durch "Raten" gelöst und weiß daher nicht, wo genau ein weiterer Parameter herkommen soll. Muss es eventuell einfach noch ein weiterer Faktor sein, damit man auf diese $\begin{eqnarray*} c_{k}^j \end{eqnarray*}$ kommt?

01.01.2015, 16:13

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c ist kein freier Parameter, er beschreibt Eigenschaften der eingespannten Saite, gehört also zum Modell.
Die allgemeine Lösung ist $\begin{eqnarray*} b_k(t)=\alpha_k\cos(ckt)+\beta_k\sin(ckt) \end{eqnarray*}$ mit reellen Parametern $\begin{eqnarray*} \alpha_k,\beta_k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich frage mich was die $\begin{eqnarray*} c_{k}^j \end{eqnarray*}$ nun darstellen.

Das verstehe ich nicht. Die Funktionen $\begin{eqnarray*} u_1(x), u_2(x) \end{eqnarray*}$ sind gegeben und zwar in Gestalt ihrer Fourierreihen. Die zugehörigen (damit auch gegebenen) Fourierkoeffizienten sind die $\begin{eqnarray*} c_{k}^j \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist jetzt, wie musst du die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_k, \beta_k \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} u(x,t) \end{eqnarray*}$ bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} u(x,0) \end{eqnarray*}$ mit den Anfangsdaten $\begin{eqnarray*} u_1(x) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.
Und dann das geiche für $\begin{eqnarray*} u_2(x) \end{eqnarray*}$

01.01.2015, 18:57

Manecas

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Die Funktionen $\begin{eqnarray*} u_{0}(x),u_{1}(x) \end{eqnarray*}$ sind doch nur in der Gestalt $\begin{eqnarray*} u_{j}(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty c_{k}^j sin(kx) \end{eqnarray*}$ gegeben, oder? Dann weiß ich nicht, wie ich Konkreteres über die Fourierkoeffizienten aussagen kann.

Damit $\begin{eqnarray*} u(x,0) \end{eqnarray*}$ mit den Anfangsdaten $\begin{eqnarray*} u_{0}(x) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt, muss doch $\begin{eqnarray*} u_{0}(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty (\alpha_{k}cos(0)+\beta_{k}sin(0))\cdot sin(kx) = \sum\limits_{k=1}^\infty \alpha_{k} sin(kx)= \sum\limits_{k=1}^\infty c_{k}^0 sin(kx)=u_{0}(x) \end{eqnarray*}$ sein. Das würde dann heißen, das die $\begin{eqnarray*} \alpha_{k}=c_{k}^0 \end{eqnarray*}$ sind.
Nach dem gleichen Prinzip würde ich dann auch darauf kommen, dass die $\begin{eqnarray*} \beta_{k}=\frac{1}{ck}\cdot c_{k}^1 \end{eqnarray*}$ sind.

Ich glaube mein größtes Problem liegt noch darin, zu verstehen, wodurch die $\begin{eqnarray*} c_{k}^j \end{eqnarray*}$ definiert sind.

01.01.2015, 19:18

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Die $\begin{eqnarray*} c_k^j \end{eqnarray*}$ sind gegebene Zahlen. Mehr steckt nicht dahinter.

02.01.2015, 10:03

Manecas

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Achso! Ok, dass heißt sie haben nichts mit dem vorherigen c aus dem Modell selbst zutun.
Ich danke vielmals für die super Hilfe!

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