Differenzialgleichung, Definition

30.12.2014, 16:54

Kulka

Differenzialgleichung, Definition

Meine Frage:
Hallo, ich bereite mich zu einer Prüfung. Es geht um die Definition der Diffglg 1.Ordnung. Die Voraussetzung ist, dass $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \times \mathbb K ^ d \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Warum ist es so und wie wird das mathematisch gelesen?

30.12.2014, 17:05

Che Netzer

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RE: Differenzialgleichung, Definition

Zitat:

Original von Kulka
Es geht um die Definition der Diffglg 1.Ordnung.

Es gibt natürlich nicht die Differentialgleichung erster Ordnung.

Zitat:

Warum ist es so und wie wird das mathematisch gelesen?

Das bedeutet zunächst einmal, dass die Elemente von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Tupel der Form $\begin{eqnarray*} (t,x) \end{eqnarray*}$ sind, wobei $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb K^d \end{eqnarray*}$ . In der Regel ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Zeit und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bezeichnet einen Raumpunkt.
Die rechte Seite der DGL (oder was auch immer auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ für eine Funktion definiert wird) hängt also von der Zeit und vom Ort ab.

30.12.2014, 18:59

Hausmann

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RE: Differenzialgleichung, Definition
Frage am Rande

Was haben Ort und Zeit mit der Definition von Differentialgleichungen zu tun? Als Nichtmathematiker hätte ich zum Beispiel eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung als stetige Funktion $\begin{align*} f(x,y,y') = 0 \end{align*}$ aufgefaßt. (Was man vielleicht als $\begin{align*} \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \end{align*}$ lesen kann.)

30.12.2014, 19:44

Che Netzer

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RE: Differenzialgleichung, Definition
Das wäre mathematisch auch völlig korrekt. Vermutlich wurden beim Fragesteller aber Differentialgleichungen der Form $\begin{eqnarray*} \dot x=f(t,x) \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$ oder sonstwie benannt) betrachtet, wobei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hier vektorwertig (aus $\begin{eqnarray*} \mathbb K^d \end{eqnarray*}$ ) ist.
Das hat rein mathematisch tatsächlich noch nichts mit Ort und Zeit zu tun. Die kommen erst ins Spiel, wenn man den Sinn der Definition (physikalisch) erklären möchte. [wobei das bei zweiter Ordnung wohl leichter wäre]

09.01.2015, 11:25

Kulka

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RE: Differenzialgleichung, Definition
Also in meiner Definition der Differentialleichung 1.Ordnung ist das eine Gleichung der Form:

y' (t)= f( t, y(t)). Wobei
$\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \times \mathbb K^ d \end{eqnarray*}$ offen,
$\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ stetig
$\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb K ^d \end{eqnarray*}$

Also mein Definitionsbereich gehört zu R x K^d. Aber warum ist es so? Warum ist das eine offene Menge? Warum ist
$\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R , y \in \mathbb K ^d \end{eqnarray*}$

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