Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen

30.12.2014, 18:07

professorfindus

Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen

Hallo liebe Community,

zu meiner Frage konnte ich noch keine befriedigende Antwort finden:

Es soll die Differenzierbarkeit nachgewiesen werden.
Es liegt eine abschnittsweise defiinierte Funktion f vor, z. B. gilt
für

$\begin{eqnarray*} x \geq 1 \quad f(x)=2\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < 1 \quad f(x)=-x^2+3x \end{eqnarray*}$

.

Die "heikle" Stelle ist also x=1. Reicht dann folgende Argumentation aus?

Da für $\begin{eqnarray*} x > 1 \quad f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist, gilt für $\begin{eqnarray*} x\to 1\quad f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ .
Und es gilt für $\begin{eqnarray*} x < 1 \quad f'(x)=-2x+3 \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist für $\begin{eqnarray*} x\to 1\quad f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ ,

also sind links- und rechtsseitige Grenzwerte der Ableitung an der Stelle x=1 gleich, woraus die Differenzierbarkeit von f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt.

Oder MUSS man hier den links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten betrachten?

Viele Grüße
Findus

30.12.2014, 19:22

klauss

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
Im Schulbereich würde ich an der Stelle

Zitat:

Reicht dann folgende Argumentation aus?

eine ordentliche Begründung anhand als bekannt vorauszusetzender Eigenschaften der gegebenen Funktionen akzeptieren.

Da die Frage im Hochschulbereich eingestellt ist, wird man jedoch die Frage

Zitat:

Oder MUSS man hier den links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten betrachten?

wohl klar beantworten: JA, im Zweifel immer.
Wobei man dann evtl. auch der Prüfung der Stetigkeit vorab Aufmerksamkeit widmen sollte.

30.12.2014, 19:55

professorfindus

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
Ok, also werde ich hier wohl genauer begründen müssen...

Wenn ich den linksseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten bilde, gelangt man zum Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1-} \frac{-x^2+3x-2}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle sind die Voraussetzungen für L'Hospital $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ erfüllt, also gelangt man doch wieder zum Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1-} \frac{-x^2+3x-2}{x-1}=\lim_{x\to 1-}-2x+3=\lim_{x\to1-}f'(x) \end{eqnarray*}$ .

Analog erhält man den rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung von f an der Stelle x=1.

Also ist die Begründung von weiter oben (ohne Differenzenquotienten) doch gleichwertig mit dieser hier, oder?

30.12.2014, 20:05

klauss

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
L'Hospital betrachte ich hier als zu starkes Geschütz. Sollte man nur verwenden, wenn man sonst gar nicht weiterkommt.
1. macht der schon grundsätzlich von Differenzierbarkeit der Abschnittsfunktionen Gebrauch,
2. ist er hier auch nicht notwendig.
Eleganter ist: Zähler faktorisieren, Bruch kürzen, Grenzwert bilden.

Zitat:

Analog erhält man den rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung von f an der Stelle x=1.

Analog ja, man muß die Rechnung dann aber auch richtig hinschreiben. Auch hier wird kein L'Hospital benötigt.

30.12.2014, 20:31

professorfindus

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
Ok, es geht auch über die 3. binomische Formel, aber mathematisch gesehen ist daran ja nichts falsch, oder? Auch wenn es wirklich ein - wie du schon sagst - sehr scharfes Geschütz ist.

30.12.2014, 20:40

klauss

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
Bei fortgeschrittenen "Problemfunktionen" (z. B. mit sin/cos, e, 1/x u. ä. in Verkettungen) kann man schon auf L'Hospital zurückgreifen, aber wenn möglich, sollte man wohl den algebraischen Weg wählen, um Fehlschlüsse zu vermeiden.

30.12.2014, 20:46

professorfindus

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
ok, das verstehe ich. Freude

Ich frag mich nur, ob ich dann auf so eine Lösung auch Punkte bekommen hätte.

30.12.2014, 20:54

klauss

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
Das ist natürlich im Prinzip mit dem Dozenten zu klären.
Im vorliegenden Stadium auf dem Niveau der gegebenen Funktionen, braucht man L'Hospital nicht und sobald die Funktionen schwieriger werden, wird sicher zu gegebener Zeit auch mal L'Hospital in der Musterlösung auftauchen. Spätestens dann ist das auch o.k. Trotzdem am besten im Einzelfall entscheiden und lieber den einfachen Weg gehen. Wenn der korrekt ist, kann man sicher volle Punktzahl nicht verweigern.

So bin dann weg, weil ich heute zur Bahn muß.

Wink

30.12.2014, 21:01

Iorek

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen

Zitat:

Original von professorfindus
Also ist die Begründung von weiter oben (ohne Differenzenquotienten) doch gleichwertig mit dieser hier, oder?

Um da noch drauf einzugehen: nein, das ist so nicht korrekt. Ansonsten wäre mit dieser Begründung auch $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto\begin{cases} x,&x\leq 0 \\ x+1,&x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar (allerdings ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort offensichtlich nicht stetig). Wenn man zunächst die Stetigkeit prüft und die jeweiligen Ableitungen stetig sind, dann könnte man die Argumentation retten.

30.12.2014, 21:44

professorfindus

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RE: Vorgehen bei Ableitung abschnittsweise definierter Funktionen
@Klauss: danke für deine Tipps! viel Erfolg mit der Bahn bei dem Wetter.. Big Laugh

@Iorek: das ist natürlich wahr, wenn die Stetigkeit der Funktion nicht so offensichtlich ist wie bei dieser Aufgabe.. danke dir für die Korrektur Augenzwinkern

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