Möbiustransformation

31.12.2014, 13:08

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Möbiustransformation

Meine Frage:
Hallo. Ich wünsche allen ein gutes endende 2014 und nur das Beste in 2015.

Für mich wäre das Beste in 2015 Mathe zu bestehen. Die auf den Bildern zu findende Aufgabe ist eine aus meiner Probeklausur. In dieser Form (gleiche Aufgabenstellung) aber andere Aufgabe wird sie auch in der Klausur vorkommen. Nun ich werde keine Zeit und Mühe scheuen hoffentlich mit Eurer Hilfe das Problem anzupacken und zu verstehen. Vorweg muss ich warnen, dass mir die Basics Probleme bereiten und ich daher auch Schwierigkeiten habe die Folgeschritte zu verstehen.

Meine Ideen:
Es gibt ja drei Arten der Transformation:
1) Verschiebung heißt:
Die Verschiebung um den Vektor b wird durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} V_b: z \mapsto z + b \end{eqnarray*}$ .
2) Drehstreckung: Mit der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} a = \left|a\right| e^{\mathrm{i}\,\alpha} (mit \alpha\in\mathbb R) \end{eqnarray*}$ beschreibt die Abbildung $\begin{eqnarray*} D_a:z\mapsto a\cdot z \end{eqnarray*}$ eine Streckung um den Faktor $\begin{eqnarray*} \left|a\right| \end{eqnarray*}$ kombiniert mit einer Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha. \end{eqnarray*}$
3) Inversion
Die Inversion wird durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} I \colon z\mapsto \tfrac{1}{z} \end{eqnarray*}$ beschrieben.

Liebe Grüße

Claudia

31.12.2014, 14:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn die Frage? Du hast doch schon eine Lösung angehängt... An welcher Stelle wird es denn unklar?

31.12.2014, 14:24

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun so ziemlich vieles ist mir unklar. Ich kann erst Aufgaben alleine lösen wenn ich schon derartige Aufgaben verstanden habe, daher muss ich erstmal eine komplett verstehen.

Fangen wir dann mal an. Nun die Funktion lautet ja:

$\begin{eqnarray*} f(z) = 1 - j + \frac{2j}{z-j} \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt zuerst $\begin{eqnarray*} K(0,1) \setminus \lbrace j \rbrace \end{eqnarray*}$ sowie deren Abbild unter f und die Skizze begründen.

Nun $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ heißt jetzt Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius r=1, wobei dieser nicht zur Menge dazugehört. Was ist jetzt genau das grüne M? Wie kommt man darauf und was hat das ganze mit der Funktion f(z) zu tun da habe ich schon echt Wochen verbracht um das zu realisieren unglücklich

unglücklich

Der Begriff des Abbildes ist mir auch nicht ganz klar.

Vielen Dank, für das Interesse!

Claudia

31.12.2014, 14:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Nun $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ heißt jetzt Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius r=1, wobei dieser nicht zur Menge dazugehört.

Was meinst du mit "dieser"?
Der Kreis soll wohl abgeschlossen sein, d.h. auch der Rand gehört zu $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Was ist jetzt genau das grüne M?

Das wird erst im zweiten Aufgabenteil auftauchen. Für den ersten Teil kannst du es ignorieren.

Zitat:

Wie kommt man darauf und was hat das ganze mit der Funktion f(z) zu tun

Wie man darauf kommt, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ so aussieht, wird später klar werden. Mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat das zunächst einmal nichts zu tun.

Zitat:

Der Begriff des Abbildes ist mir auch nicht ganz klar.

Aber wie eine Bildmenge wie $\begin{eqnarray*} f\bigl(K(0,1)\bigr) \end{eqnarray*}$ definiert ist, weißt du? Das ist nämlich genau das Abbild von $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wir haben eine Menge, wenden $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf diese an und betrachten dann die neu enstandene Menge.

31.12.2014, 14:43

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Cl3audia
Nun $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ heißt jetzt Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius r=1, wobei dieser nicht zur Menge dazugehört.

Was meinst du mit "dieser"?
Der Kreis soll wohl abgeschlossen sein, d.h. auch der Rand gehört zu $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ .

Mit "dieser" meinte ich, dass der Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist weil dort ja ohne j also $\begin{eqnarray*} \setminus \lbrace j \rbrace \end{eqnarray*}$ stand. Da dachte ich der Rand gehört nicht dazu verwirrt

verwirrt

Es ist über dem Punkt $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ eine Laufrichtung (Pfeilchen) im Uhrzeigersinn eingezeichnet, was bedeutet das?

Wie komme ich dann zu dem nächsten Schritt?
$\begin{eqnarray*} z \mapsto z - j =: w \end{eqnarray*}$
Ich meine, dass es dann so gezeichnet wird wie es dort ist, ist jetzt nicht schwer, aber wie sehe oder komme ich auf den Schritt und die folgenden? Ich kann nicht dahinter kommen wieso man das macht.

Claudia dankt und grüßt Wink

Wink

31.12.2014, 14:53

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Mit "dieser" meinte ich, dass der Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist weil dort ja ohne j also $\begin{eqnarray*} \setminus \lbrace j \rbrace \end{eqnarray*}$ stand. Da dachte ich der Rand gehört nicht dazu verwirrt

verwirrt

An der Definition von $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ würde das aber ohnehin nichts ändern.
Aus dieser abgeschlossenen Kreisscheibe nehmen wir jedenfalls auch nur den Punkt $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ heraus, nicht den gesamten Rand. (und den entfernen wir auch nur, weil man sonst bei $\begin{eqnarray*} f(\mathrm j) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f\bigl(K(0,1)\bigr) \end{eqnarray*}$ ein Problem kriegen würde)

Zitat:

Es ist über dem Punkt $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ eine Laufrichtung (Pfeilchen) im Uhrzeigersinn eingezeichnet, was bedeutet das?

Das dürfte nur ein Kreuz sein, das irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis markiert.

Zitat:

Wie komme ich dann zu dem nächsten Schritt?
$\begin{eqnarray*} z \mapsto z - j =: w \end{eqnarray*}$

Wir zerpflücken $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in kleinere Bestandteile, mit denen wir einfacher umgehen können:
Erst bilden wir $\begin{eqnarray*} z-\mathrm j \end{eqnarray*}$ . Das wird dann invertiert. Dann multiplizieren wir mit $\begin{eqnarray*} 2\rm j \end{eqnarray*}$ . Und dann wird nochmal $\begin{eqnarray*} 1+\rm j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert.
Wir werden unsere Menge (diese Kreisscheibe mit einem fehlenden Randpunkt) nacheinander in diese einzelnen Abbildungen reinwerfen und sehen, was am Ende herauskommt.

Anzeige

31.12.2014, 15:15

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Es ist über dem Punkt $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ eine Laufrichtung (Pfeilchen) im Uhrzeigersinn eingezeichnet, was bedeutet das?

Das dürfte nur ein Kreuz sein, das irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis markiert.

Hm

verwirrt

für später hat es ja nicht viel Relevanz.

Zitat:

Original von Che Netzer
Wir zerpflücken $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in kleinere Bestandteile, mit denen wir einfacher umgehen können:
Erst bilden wir $\begin{eqnarray*} z-\mathrm j \end{eqnarray*}$ . Das wird dann invertiert. Dann multiplizieren wir mit $\begin{eqnarray*} 2\rm j \end{eqnarray*}$ . Und dann wird nochmal $\begin{eqnarray*} 1+\rm j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert.
Wir werden unsere Menge (diese Kreisscheibe mit einem fehlenden Randpunkt) nacheinander in diese einzelnen Abbildungen reinwerfen und sehen, was am Ende herauskommt.

Hm. Da ist mein Hauptverständnisproblem. Geht man aber immer nach diesem Schema vor? Bei Wikipedia ist z.B. der erste Schritt $\begin{eqnarray*} z+\mathrm j \end{eqnarray*}$ woran erkenne ich wann ich $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiere und wann ich $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ subtrahiere?
Das grüne w beim zweiten Bildchen ist dann doch genau die Transformation $\begin{eqnarray*} z \mapsto z - j := w \end{eqnarray*}$ ? Sprich alle Punkte auf dem um -j verschobenen Einheitskreis?
Der Schritt von Bild zwei zu drei ist mir dann nicht verständlich unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Che Netzer
Erst bilden wir $\begin{eqnarray*} z-\mathrm j \end{eqnarray*}$ . Das wird dann invertiert. Dann multiplizieren wir mit $\begin{eqnarray*} 2\rm j \end{eqnarray*}$ . Und dann wird nochmal $\begin{eqnarray*} 1+\rm j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert.
Wir werden unsere Menge (diese Kreisscheibe mit einem fehlenden Randpunkt) nacheinander in diese einzelnen Abbildungen reinwerfen und sehen, was am Ende herauskommt.

Was wir aber hier machen bzw. gemacht wurde ist, zuerst $\begin{eqnarray*} z-\mathrm j \end{eqnarray*}$ gebildet und dann $\begin{eqnarray*} 1+\rm j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert und mit $\begin{eqnarray*} 2\rm j \end{eqnarray*}$ multipliziert und am Ende invertiert?
Da bin ich mir wie gesagt unsicher und mir ist unklar wie man da vorgeht und in welcher Reihenfolge traurig

traurig

das steht auch nirgendwo sodass ich hier fragen muss unglücklich

unglücklich

sry

Claudia

31.12.2014, 15:35

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Hm verwirrt

verwirrt

für später hat es ja nicht viel Relevanz.

Ja, es halt nur eine kleine Markierung. Ist nicht Teil der Aufgabe, kann aber vielleicht helfen, wenn man sich später fragt "Moment, woher kommt dieses $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ noch gleich?".

Zitat:

Geht man aber immer nach diesem Schema vor?

Sehr oft. Man sucht sich ein paar einfach zu handhabende Funktionen, aus denen man die eigentliche Funktion zusammensetzen kann.
Hier ist $\begin{eqnarray*} f(z)=f_3(f_2(f_1(z))) \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} f_1(z)=z-\mathrm j \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f_2(w)=\frac1w \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_3(v)=1-\mathrm j+2\mathrm jv \end{eqnarray*}$ .
Ich setze mal kurz $\begin{eqnarray*} K:=K(0,1)\setminus\{\mathrm j\} \end{eqnarray*}$ . Um nun $\begin{eqnarray*} f(K) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen (was die Aufgabe ist), bestimmen wir zunächst $\begin{eqnarray*} f_1(K) \end{eqnarray*}$ . Dann das Bild davon unter $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f_2(f_1(K)) \end{eqnarray*}$ , und schließlich $\begin{eqnarray*} f_3(f_2(f_1(K)))=f(K) \end{eqnarray*}$ .

ABER: Das machen wir über einen kleinen Umweg. Anstelle von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ betrachten wir erst einmal immer nur den Rand davon; den Kreis.
Wir wissen nämlich, dass dann am Ende wieder ein Kreis oder eine Gerade herauskommen soll (so machen das Möbius-Transformationen). Dann müssen wir nur noch herausfinden, auf welche Seite dieses Gebildes das Innere des Kreises abgebildet wird.

Zitat:

Bei Wikipedia ist z.B. der erste Schritt $\begin{eqnarray*} z+\mathrm j \end{eqnarray*}$ woran erkenne ich wann ich $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiere und wann ich $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ subtrahiere?

Das war vermutlich ein ganz anderes Beispiel.

Zitat:

Das grüne w beim zweiten Bildchen ist dann doch genau die Transformation $\begin{eqnarray*} z \mapsto z - j := w \end{eqnarray*}$ ? Sprich alle Punkte auf dem um -j verschobenen Einheitskreis?

Ja, dieses $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist das Bild von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ unter unserem $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ (zur Veranschaulichung die Kreuze).

Zitat:

Der Schritt von Bild zwei zu drei ist mir dann nicht verständlich unglücklich

unglücklich

Der wird ab "Die Inversion ..." erklärt.
(Bild 3 ist ja rechts unten)

Zitat:

Was wir aber hier machen bzw. gemacht wurde ist, zuerst $\begin{eqnarray*} z-\mathrm j \end{eqnarray*}$ gebildet und dann $\begin{eqnarray*} 1+\rm j \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert und mit $\begin{eqnarray*} 2\rm j \end{eqnarray*}$ multipliziert und am Ende invertiert?

Nein, wir machen das tatsächlich so wie beschrieben bzw. gehen die Skizzen im Uhrzeigersinn durch. Wir müssen bei der "innersten Teilfunktion" anfangen (also mit $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bei obiger Notation) und bei der "äußersten" aufhören.

31.12.2014, 15:55

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Einiges ist mir jetzt echt klarer geworden super, danke Freude

Freude

Z.b. sind die Schritt die wir gemacht haben ja quasi in der Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ enthalten. Jetzt machen die Schritte auch wieder Sinn. Jetzt Frage ich mich aber was geschehen würde wenn ich nicht in dieser Reihenfolge vorgehen würde.

Zitat:

Original von Che Netzer
Dann müssen wir nur noch herausfinden, auf welche Seite dieses Gebildes das Innere des Kreises abgebildet wird.

Das versuche ich mir anhand der Aufgabe zu erklären, aber schaffe es nicht.

Zudem frage ich mich wie $\begin{eqnarray*} w \mapsto \frac1w := v \end{eqnarray*}$ genau die Gerade in Bild 3 hervorruft verwirrt

verwirrt

Ich meine es gilt ja $\begin{eqnarray*} -j = \frac1j \end{eqnarray*}$ aber wie man auf $\begin{eqnarray*} \frac12 j \end{eqnarray*}$ kommt ist mir rätselhaft.

Danke, danke, danke!

Claudia

31.12.2014, 16:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Jetzt Frage ich mich aber was geschehen würde wenn ich nicht in dieser Reihenfolge vorgehen würde.

Wenn du versehentlich oder aus Neugier erst $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ und dann erst $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ bildest, würdest du die Funktion
$\begin{eqnarray*} z\mapsto f_2(f_3(f_1(z))) \end{eqnarray*}$ betrachten.
Du kannst ja mal ausrechnen, was das ergeben würde. Ich kann schonmal verraten, dass es nicht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein wird.
Man würde also am Ende auch wieder das Bild von $\begin{eqnarray*} K(0,1)\setminus\{\mathrm j\} \end{eqnarray*}$ unter einer gewissen Möbius-Transformation bestimmen, allerdings bezüglich einer völlig anderen Möbius-Transformation.

Zitat:

Das versuche ich mir anhand der Aufgabe zu erklären, aber schaffe es nicht.

Dann teilen wir die Lösung mal in zwei Schritte:
1. Wir bestimmen, auf welche Gerade/welchen Kreis der Rand von $\begin{eqnarray*} K(0,1)\setminus\{\mathrm j\} \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.
Das machen wir mit besagter Aufspaltung in "Teilfunktionen".
2. Wir berücksichtigen jetzt auch den Rest der Menge; nicht nur den Rand, sondern auch das Innere. Wir wissen: Da dieses Innere "eine Seite des Kreises" ausfüllt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Möbius-Transformation ist, wird das Bild dieses Inneren auch eine Seite der in 1. erhaltenen Geraden sein (oder das Innere/Äußere des Kreises, wenn wir denn einen Kreis herausbekommen sollten).

Zitat:

Zudem frage ich mich wie $\begin{eqnarray*} w \mapsto \frac1w := v \end{eqnarray*}$ genau die Gerade in Bild 3 hervorruft verwirrt

verwirrt

Da kann man sich mehreres überlegen. Hier ist man wohl folgendermaßen vorgegangen:
Zunächst einmal entsteht auch eine Gerade, denn im verschobenen Kreis ist $\begin{eqnarray*} w=0 \end{eqnarray*}$ enthalten und dieser Punkt geht nach der Inversion ins Unendliche. Genau deshalb entfernen wir eben diesen Punkt auch aus unserer eigentlichen Menge, da wir Unendlichen nicht als Bildpunkt haben wollen. [Anmerkung: Mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir einen Punkt auf dem ursprünglichen Kreis; mit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist also ein Punkt auf dem verschobenen gemeint. Insbesondere ist nicht $\begin{eqnarray*} w=-\rm j \end{eqnarray*}$ enthalten]
Außerdem berühren sich Kreis und reelle Achse "in der $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ -Ebene" nur und schneiden sich nicht (also vor der Inversion).
Das soll auch noch nach der Inversion "in der $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -Ebene" gelten. Die reelle Achse wird dabei auf sich selbst abgebildet; also wird der " $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ -Kreis" zu einer Gerade, welche die reelle Achse nicht schneidet (und sie stattdessen im Unendlichen berührt). Sie muss also parallel dazu sein.

Jetzt wollen wir herausfinden, welche der parallelen Geraden wir denn erhalten. Dazu müssen wir nur noch einen Punkt auf der Geraden kennen.

Zitat:

Ich meine es gilt ja $\begin{eqnarray*} -j = \frac1j \end{eqnarray*}$ aber wie man auf $\begin{eqnarray*} \frac12 j \end{eqnarray*}$ kommt ist mir rätselhaft.

Der verschobene Kreis enthält ja $\begin{eqnarray*} w=-2\rm j \end{eqnarray*}$ . Nach der Inversion wird dieser zu $\begin{eqnarray*} v=\frac12\rm j \end{eqnarray*}$ , d.h. der Punkt liegt auf der Bildgeraden. Diese ist daher diejenige Gerade durch den Punkt $\begin{eqnarray*} \frac12\mathrm j \end{eqnarray*}$ , welche parallel zur reellen Achse ist.

31.12.2014, 16:32

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
2. Wir berücksichtigen jetzt auch den Rest der Menge; nicht nur den Rand, sondern auch das Innere. Wir wissen: Da dieses Innere "eine Seite des Kreises" ausfüllt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Möbius-Transformation ist, wird das Bild dieses Inneren auch eine Seite der in 1. erhaltenen Geraden sein (oder das Innere/Äußere des Kreises, wenn wir denn einen Kreis herausbekommen sollten).

Da stellt sich mein Vorstellungsvermögen ein unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn du versehentlich oder aus Neugier erst $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ und dann erst $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ bildest, würdest du die Funktion
$\begin{eqnarray*} z\mapsto f_2(f_3(f_1(z))) \end{eqnarray*}$ betrachten.
Du kannst ja mal ausrechnen, was das ergeben würde. Ich kann schonmal verraten, dass es nicht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein wird.
Man würde also am Ende auch wieder das Bild von $\begin{eqnarray*} K(0,1)\setminus\{\mathrm j\} \end{eqnarray*}$ unter einer gewissen Möbius-Transformation bestimmen, allerdings bezüglich einer völlig anderen Möbius-Transformation.

Das mache ich mal gleich oder später, weil es zum Verständnis echt sinnvoll ist. Vor allem wenn man sich nicht im Klaren ist wie, bzw. Schritt- oder Reihenfolge man festlegt.

Zitat:

Original von Che Netzer
Der verschobene Kreis enthält ja $\begin{eqnarray*} w=-2\rm j \end{eqnarray*}$ . Nach der Inversion wird dieser zu $\begin{eqnarray*} v=\frac12\rm j \end{eqnarray*}$ , d.h. der Punkt liegt auf der Bildgeraden. Diese ist daher diejenige Gerade durch den Punkt $\begin{eqnarray*} \frac12\mathrm j \end{eqnarray*}$ , welche parallel zur reellen Achse ist.

Ahso ja stimmt und Inversion von $\begin{eqnarray*} w=-2\rm j \end{eqnarray*}$ liefert genau $\begin{eqnarray*} \frac12\mathrm j \end{eqnarray*}$ .
Jetzt frage ich mich verwirrt

verwirrt

wieso man gerade diesen Punkt zur Inversion wählt?

Zitat:

Original von Che Netzer
Da kann man sich mehreres überlegen. Hier ist man wohl folgendermaßen vorgegangen:
Zunächst einmal entsteht auch eine Gerade, denn im verschobenen Kreis ist $\begin{eqnarray*} w=0 \end{eqnarray*}$ enthalten und dieser Punkt geht nach der Inversion ins Unendliche. Genau deshalb entfernen wir eben diesen Punkt auch aus unserer eigentlichen Menge, da wir Unendlichen nicht als Bildpunkt haben wollen. [Anmerkung: Mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir einen Punkt auf dem ursprünglichen Kreis; mit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist also ein Punkt auf dem verschobenen gemeint. Insbesondere ist nicht $\begin{eqnarray*} w=-\rm j \end{eqnarray*}$ enthalten]
Außerdem berühren sich Kreis und reelle Achse "in der $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ -Ebene" nur und schneiden sich nicht (also vor der Inversion).
Das soll auch noch nach der Inversion "in der $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -Ebene" gelten. Die reelle Achse wird dabei auf sich selbst abgebildet; also wird der " $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ -Kreis" zu einer Gerade, welche die reelle Achse nicht schneidet (und sie stattdessen im Unendlichen berührt). Sie muss also parallel dazu sein.

Jetzt wollen wir herausfinden, welche der parallelen Geraden wir denn erhalten. Dazu müssen wir nur noch einen Punkt auf der Geraden kennen.

Hier ist es ja erklärt nur kann ich ab dem Satz:

Zitat:

Original von Che Netzer
Das soll auch noch nach der Inversion "in der $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -Ebene" gelten. . .

nicht mehr mitkommen unglücklich

unglücklich

Claudia

31.12.2014, 17:12

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Da stellt sich mein Vorstellungsvermögen ein unglücklich

unglücklich

Möbius-Transformationen sind stetig und bijektiv (wenn man $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ mitnimmt).
Wenn wir nun eine Gerade und einen Kreis haben, teilen diese jeweils die Ebene in zwei Teile (bei einer Gerade werden es zwei Halbebenen; bei einem Kreis das Innere bzw. Äußere). Wenn nun ein Kreis auf eine Gerade abgebildet wird, muss das Innere bzw. Äußere des Kreises auch auf eine der beiden Halbebenen im Bildbereich abgebildet werden.

Zitat:

Jetzt frage ich mich verwirrt

verwirrt

wieso man gerade diesen Punkt zur Inversion wählt?

Der konkrete Punkt spielt keine Rolle. Man braucht nur irgendeinen, der dann alles festlegt. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} -2\mathrm j \end{eqnarray*}$ ein sehr "einfacher" Punkt auf dem Kreis. Man kann ihn leicht angeben und schön invertieren. Es ginge z.B. auch $\begin{eqnarray*} 1-\rm j \end{eqnarray*}$ , aber da ist das Invertieren etwas anstrengender.

Zitat:

Hier ist es ja erklärt nur kann ich ab dem Satz:

Zitat:

Original von Che Netzer
Das soll auch noch nach der Inversion "in der $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -Ebene" gelten. . .

nicht mehr mitkommen unglücklich

unglücklich

Kreise und Geraden können sich natürlich schneiden oder berühren.
Nun weiß man, dass Möbius-Transformationen solches "Verhalten" beibehalten; sogar die Schnittwinkel.
Wenn du also einen Kreis und eine Gerade hast, die sich nicht schneiden, sondern berühren, und du darauf eine Möbius-Transformation anwendest (wie hier $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ), dann weißt du nicht nur, dass jeweils wieder ein Kreis/eine Gerade entsteht, sondern auch, dass sich diese beiden Objekte wieder nicht schneiden, sondern sich (ggf. im Punkt Unendlich) berühren.

31.12.2014, 18:03

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn nun ein Kreis auf eine Gerade abgebildet wird, muss das Innere bzw. Äußere des Kreises auch auf eine der beiden Halbebenen im Bildbereich abgebildet werden.

Es gilt doch auch nur, Kreis auf Gerade und Gerade auf Kreis abgebildet werden?
Und das Äußere oder Innere von Kreisen auf Halbebenen und andersrum?

Zitat:

Original von Che Netzer
Man braucht nur irgendeinen, der dann alles festlegt. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} -2\mathrm j \end{eqnarray*}$ ein sehr "einfacher" Punkt auf dem Kreis. Man kann ihn leicht angeben und schön invertieren. Es ginge z.B. auch $\begin{eqnarray*} 1-\rm j \end{eqnarray*}$ , aber da ist das Invertieren etwas anstrengender.

In der Tat wie invertiere ich den Punkt? Einfach mit dem komplex-konjugierten? Obwohl nein das bewirkt ja nur eine Spiegelung an der reellen Achse. Wie geht das dann? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Che Netzer
Kreise und Geraden können sich natürlich schneiden oder berühren.
Nun weiß man, dass Möbius-Transformationen solches "Verhalten" beibehalten; sogar die Schnittwinkel.
Wenn du also einen Kreis und eine Gerade hast, die sich nicht schneiden, sondern berühren, und du darauf eine Möbius-Transformation anwendest (wie hier $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ), dann weißt du nicht nur, dass jeweils wieder ein Kreis/eine Gerade entsteht, sondern auch, dass sich diese beiden Objekte wieder nicht schneiden, sondern sich (ggf. im Punkt Unendlich) berühren.

Okay abgespeichert.

"Die affin-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} v \mapsto (1-j)+2jv \end{eqnarray*}$ überführt diese wieder in eine Gerade, welche die Punkte $\begin{eqnarray*} (1-j)+2j \left( \frac12 j\right) = -j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-j) + 2j \left( \frac12 + \frac12 j \right) = 0 \end{eqnarray*}$ enthält."

Das kann ich nicht nachvollziehen traurig

traurig

Claudia

31.12.2014, 19:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Es gilt doch auch nur, Kreis auf Gerade und Gerade auf Kreis abgebildet werden?

Nein, auch "Kreis auf Kreis" und "Gerade auf Gerade" sind möglich.
Die Möbius-Transformationen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ machen z.B. nur das (und bilden niemals einen Kreis auf eine Gerade ab) und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ bildet auch die reelle Achse (als Gerade) auf sich selbst ab.

Zitat:

Und das Äußere oder Innere von Kreisen auf Halbebenen und andersrum?

Auch hier sind alle Kombinationen möglich.
Aber irgendeine davon ist immer richtig: Wenn wir im Urbild einen Kreis haben, ist das Bild [unter einer Möbius-Transformation] eine Gerade oder ein Kreis.
Wenn es eine Gerade ist, wird das Innere des Kreises auf eine der beiden Halbebenen abgebildet und das Äußere auf die jeweils andere.

Zitat:

In der Tat wie invertiere ich den Punkt? Einfach mit dem komplex-konjugierten?

Du kannst den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac1{1+\rm j} \end{eqnarray*}$ "einfach mit dem komplex-konjugierten" des Nenners erweitern Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst hier auch die allgemeine Formel $\begin{eqnarray*} z^{-1}=\frac{\overline z}{\lvert z\rvert^2} \end{eqnarray*}$ anwenden. Oder du kannst die Zahl in Polarkoordinaten schreiben: $\begin{eqnarray*} 1+\rm j=\sqrt2\mathrm e^{\frac\pi4\mathrm j} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das kann ich nicht nachvollziehen

Dass diese Funktion $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ bzw. Möbius-Transformation aber "sogar" eine affin-lineare Abbildung ist, siehst du aber?
Das ist ja eine lineare Abbildung gefolgt von einer Verschiebung; sie bildet also insbesondere Geraden auf Geraden ab.
Man weiß also, dass das Bild von unserer eben erhaltenen Geraden unter der letzten "Teilfunktion" wieder eine Gerade ist. Und eine Gerade ist durch zwei Punkte auf ihr festgelegt. Wir wählen also zwei Punkte auf der ersten Geraden, wenden $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ an und erhalten so zwei Bildpunkte, die auf der Bildgeraden liegen und diese damit eindeutig beschreiben.

Alternativ hätten wir auch drei Punkte wählen können. Dann hätte gesehen, dass die unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ auf drei Punkte abgebildet werden, die wieder auf einer Geraden (nicht auf einem Kreis) liegen.

01.01.2015, 10:36

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Dass diese Funktion $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ bzw. Möbius-Transformation aber "sogar" eine affin-lineare Abbildung ist, siehst du aber?
Das ist ja eine lineare Abbildung gefolgt von einer Verschiebung; sie bildet also insbesondere Geraden auf Geraden ab.
Man weiß also, dass das Bild von unserer eben erhaltenen Geraden unter der letzten "Teilfunktion" wieder eine Gerade ist. Und eine Gerade ist durch zwei Punkte auf ihr festgelegt. Wir wählen also zwei Punkte auf der ersten Geraden, wenden $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ an und erhalten so zwei Bildpunkte, die auf der Bildgeraden liegen und diese damit eindeutig beschreiben.

Alternativ hätten wir auch drei Punkte wählen können. Dann hätte gesehen, dass die unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ auf drei Punkte abgebildet werden, die wieder auf einer Geraden (nicht auf einem Kreis) liegen.

Sehen kann ich das leider nicht, weil der Begriff der Affinität durch mich nicht verstanden ist unglücklich

unglücklich

Guten Rutsch und vor allem Gesundheit wünscht

Claudia

01.01.2015, 15:01

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine affin-lineare Abbildung ist eine lineare Abbildung gefolgt von einer Translation (Verschiebung). In $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist sowas also von der Form $\begin{eqnarray*} z\mapsto az+b \end{eqnarray*}$ mit zwei komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ (und nehmen wir am besten mal $\begin{eqnarray*} a\neq0 \end{eqnarray*}$ an). Das bewirkt zunächst einmal eine Streckung und Rotation und dann eine Verschiebung um $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . So etwas bildet ja wohl Geraden wieder auf Geraden ab.

02.01.2015, 19:04

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich bin jetzt nochmal alles durchgegangen und bin beim vierten Bildchen, also
$\begin{eqnarray*} v \mapsto (1-j)+2j v \end{eqnarray*}$

Das ergibt doch nach Adam Riese einfach $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ oder?

Also: $\begin{eqnarray*} (1-j)+2j v = (1-j)+2j \frac12 j =1-j+j^2 = 1-j-1 =-j \end{eqnarray*}$

Richtig? Und im Endeffekt bekomme ich dann als Ergebnis die Imaginäre Achse? Jedoch verstehe ich den Text dazu nicht. Wieso enthält es die dort erwähnten Punkte?

Bei der Skizzierung der Menge verstehe ich nicht wie man auf die Beziehung kommt, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{2j}{z-j}=f(z)-1+j \end{eqnarray*}$

gilt. Die grüne Rechnung ist mir nach dem Ausklammern bzw. Kürzen nicht klar, vor allem wie man auf diese kommt unglücklich

unglücklich

Danke für die erhaltene Hilfe!

02.01.2015, 20:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Okay ich bin jetzt nochmal alles durchgegangen und bin beim vierten Bildchen, also
$\begin{eqnarray*} v \mapsto (1-j)+2j v \end{eqnarray*}$

Das ergibt doch nach Adam Riese einfach $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ oder?

Für $\begin{eqnarray*} v=\frac12\rm j \end{eqnarray*}$ schon, aber das ist ja nur ein Punkt auf der Geraden. (man kann noch einen beliebigen Realteil hinzuaddieren)

Zitat:

Jedoch verstehe ich den Text dazu nicht. Wieso enthält es die dort erwähnten Punkte?

"Vorher" hatten wir eine Gerade parallel zur reellen Achse. Auf diese wenden wir die oben genannte Transformation an.
Wenn wir diese auf zwei Punkte auf der ersten Geraden anwenden, werden die Bildpunkte auch im Bild der gesamten Gerade enthalten sein (welches wieder eine Gerade ist).

Zitat:

Bei der Skizzierung der Menge verstehe ich nicht wie man auf die Beziehung kommt, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{2j}{z-j}=f(z)-1+j \end{eqnarray*}$

Das ist eigentlich noch recht einfach. Nimm die Funktionsgleichung für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und stelle sie zu obiger Gleichung um.

Zitat:

Die grüne Rechnung ist mir nach dem Ausklammern bzw. Kürzen nicht klar, vor allem wie man auf diese kommt unglücklich

unglücklich

Ist das damit auch schon geklärt?

02.01.2015, 20:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Anhang eine dynamische Zeichnung. Um sie zu öffnen, installiere zuvor Euklid.

Du kannst mit der Maus am Punkt $\begin{align*} \color{blue} z \end{align*}$ ziehen und beobachten, wie sich das Bild $\begin{align*} \color{red} w \color{black} = f(z) \end{align*}$ dabei verhält.

02.01.2015, 20:52

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Für $\begin{eqnarray*} v=\frac12\rm j \end{eqnarray*}$ schon, aber das ist ja nur ein Punkt auf der Geraden. (man kann noch einen beliebigen Realteil hinzuaddieren)

Ja genau für $\begin{eqnarray*} v=\frac12\rm j \end{eqnarray*}$ ist es genau $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ und man kann noch einen beliebigen Realteil hinzuaddieren? verwirrt

verwirrt

Wie ist das gemeint? Aber es ist doch die imaginäre Achse?

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn wir diese auf zwei Punkte auf der ersten Geraden anwenden, werden die Bildpunkte auch im Bild der gesamten Gerade enthalten sein (welches wieder eine Gerade ist).

Hm. Das verstehe ich nicht ganz. Ich kann nur nachvollziehen irgendwie das Punkte auf der ersten Geraden durch Anwendung auf der neuen Gerade sind. Jedoch weiß ich nicht wie ich es mir konkret vorstellen kann.

Zitat:

Original von Che Netzer
Das ist eigentlich noch recht einfach. Nimm die Funktionsgleichung für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und stelle sie zu obiger Gleichung um.
..
Ist das damit auch schon geklärt?

Ohne tatsächlich, nur umgestellt. Aber wie sehe ich sowas? Bzw. wie komme ich auf sowas? Ich sehe das im Term in der grünen Klammer $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ verwendet wurde und sich dann exakt weghebt, sodass es hinkommt. Aber wieso multipliziert man dann noch mit dem $\begin{eqnarray*} (1+j) \end{eqnarray*}$ noch davor?

Ich sehe da kein Lichtlein brennen wieso man das macht unglücklich

unglücklich

Der Folgerest in grün ist auch unklar unglücklich

unglücklich

Dort wird wieder etwas ersetzt und ich werde nicht schlau daraus

Zitat:

Original von Leopold
Im Anhang eine dynamische Zeichnung. Um sie zu öffnen, installiere zuvor

Das geht nicht ich bin leider nicht im Besitz eines Windows.

(Schande über mich ich weiß) *.*

Claudia

02.01.2015, 21:51

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Ja genau für $\begin{eqnarray*} v=\frac12\rm j \end{eqnarray*}$ ist es genau $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ und man kann noch einen beliebigen Realteil hinzuaddieren? verwirrt

verwirrt

Wie ist das gemeint? Aber es ist doch die imaginäre Achse?

Dieses genannte $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist nur ein Punkt auf der Geraden. Wenn du aber $\begin{eqnarray*} v+a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bildest, ist das immer noch ein Punkt auf der Geraden.

Zitat:

Das verstehe ich nicht ganz. Ich kann nur nachvollziehen irgendwie das Punkte auf der ersten Geraden durch Anwendung auf der neuen Gerade sind. Jedoch weiß ich nicht wie ich es mir konkret vorstellen kann.

Da gibt es nicht allzu viel vorzustellen. Du hast eine Transformation, die eine Gerade auf eine andere Gerade abbildet; letztere wird durch Angabe von zwei Punkten auf ihr eindeutig bestimmt.

Zitat:

Aber wie sehe ich sowas? Bzw. wie komme ich auf sowas?

Übung.

Zitat:

Ich sehe das im Term in der grünen Klammer $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ verwendet wurde und sich dann exakt weghebt, sodass es hinkommt. Aber wieso multipliziert man dann noch mit dem $\begin{eqnarray*} (1+j) \end{eqnarray*}$ noch davor?

Tut man gar nicht, es wird doch nur mit $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ multipliziert (!).

02.01.2015, 22:09

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Dieses genannte $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist nur ein Punkt auf der Geraden. Wenn du aber $\begin{eqnarray*} v+a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bildest, ist das immer noch ein Punkt auf der Geraden.

Aber wo ist denn das $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ? Wenn kein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ da ist dann ist's doch reell?

Zitat:

Original von Che Netzer
Da gibt es nicht allzu viel vorzustellen. Du hast eine Transformation, die eine Gerade auf eine andere Gerade abbildet; letztere wird durch Angabe von zwei Punkten auf ihr eindeutig bestimmt.

Aber wieso gerade diese zwei Punkte ich kann das nicht nachvollziehen unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Che Netzer
Tut man gar nicht, es wird doch nur mit $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ multipliziert (!).

Hm okay dann wieso mit $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde es echt gerne verstehen, aber der Weg ist echt steinig, leider

Claudia

02.01.2015, 22:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Aber wo ist denn das $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ? Wenn kein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ da ist dann ist's doch reell?

Ja, deshalb sprach ich von einem Realteil. Hier geht es ja um die Gerade, die parallel zur reellen Achse verläuft, nicht deren Bild unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber wieso gerade diese zwei Punkte ich kann das nicht nachvollziehen unglücklich

unglücklich

Warum nicht? Irgendwelche zwei Punkte musste man halt einsetzen und die beiden haben sich für die Rechnung angeboten.

Zitat:

Hm okay dann wieso mit $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ?

Vorher stand dort ja $\begin{eqnarray*} -\frac2{z-\rm j} \end{eqnarray*}$ , man kennt einen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \frac{2\rm j}{z-\rm j} \end{eqnarray*}$ . Diese beiden Ausdrücke unterscheiden sich um den Faktor $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ , den man dann halt herauszieht.

02.01.2015, 23:12

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, deshalb sprach ich von einem Realteil. Hier geht es ja um die Gerade, die parallel zur reellen Achse verläuft, nicht deren Bild unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ .

Hmm. Da sind mir wohl die Unterschiede nicht klar, ohne unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Aber wieso gerade diese zwei Punkte ich kann das nicht nachvollziehen unglücklich

unglücklich

Warum nicht? Irgendwelche zwei Punkte musste man halt einsetzen und die beiden haben sich für die Rechnung angeboten.

Einsetzen? Wie werden die denn eingesetzt? Bzw. was bringt mir das Einsetzen?

Zitat:

Original von Che Netzer
Vorher stand dort ja $\begin{eqnarray*} -\frac2{z-\rm j} \end{eqnarray*}$ , man kennt einen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \frac{2\rm j}{z-\rm j} \end{eqnarray*}$ . Diese beiden Ausdrücke unterscheiden sich um den Faktor $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ , den man dann halt herauszieht.

Also quasi zum Anpassen, damit es auch stimmt? Mir ist dennoch unklar anhand der Berechnungen wieso sich die gezeichnete Menge ergibt.

Claudia

03.01.2015, 11:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
Hmm. Da sind mir wohl die Unterschiede nicht klar

Es geht erst einmal nur um die eine Gerade, die parallel zur reellen Achse und durch $\begin{eqnarray*} \frac12\rm j \end{eqnarray*}$ verläuft. Ihre Punkte sind genau die von der Form $\begin{eqnarray*} \frac12\mathrm j+a \end{eqnarray*}$ für irgendein reelles $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Ihr Bild unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist irgendeine andere Gerade, mit der wir zunächst aber nichts zu tun haben.

Zitat:

Einsetzen? Wie werden die denn eingesetzt?

Wie du eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 1-\mathrm j+2\mathrm jv \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Zitat:

Bzw. was bringt mir das Einsetzen?

Du erhältst zwei Punkte, von denen du weißt, dass sie auf der Bildgeraden liegen. Und diese Bildgerade ist damit eindeutig beschrieben.

Zitat:

Also quasi zum Anpassen

Ja.

Zitat:

Mir ist dennoch unklar anhand der Berechnungen wieso sich die gezeichnete Menge ergibt.

Der Rest der Rechnung zeigt, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ genau aus den Punkten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ besteht, für weche der Realteil von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ positiv ist.
In der ersten Teilaufgabe haben wir gesehen, dass das Innere unseres Kreises $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ gerade aus den Punkten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ besteht, für welche $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ einen negativen Realteil hat. Um auf die andere Halbebene zu kommen, wählen wir deshalb das Äußere.

04.01.2015, 17:11

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Cl3audia
Hmm. Da sind mir wohl die Unterschiede nicht klar

Es geht erst einmal nur um die eine Gerade, die parallel zur reellen Achse und durch $\begin{eqnarray*} \frac12\rm j \end{eqnarray*}$ verläuft. Ihre Punkte sind genau die von der Form $\begin{eqnarray*} \frac12\mathrm j+a \end{eqnarray*}$ für irgendein reelles $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Ihr Bild unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist irgendeine andere Gerade, mit der wir zunächst aber nichts zu tun haben.

Okay das ist soweit einleuchtend.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Einsetzen? Wie werden die denn eingesetzt?

Wie du eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 1-\mathrm j+2\mathrm jv \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Genau und wieso tut man das?

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Also quasi zum Anpassen

Ja.

Das nehme ich wieder an geht nur mit Routine/Übung?

Zitat:

Original von Che Netzer
Der Rest der Rechnung zeigt, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ genau aus den Punkten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ besteht, für weche der Realteil von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ positiv ist.
In der ersten Teilaufgabe haben wir gesehen, dass das Innere unseres Kreises $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ gerade aus den Punkten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ besteht, für welche $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ einen negativen Realteil hat. Um auf die andere Halbebene zu kommen, wählen wir deshalb das Äußere.

Das kann ich mir einfach nicht komplett klarmachen anhand der Rechnung.
Schwierig ist auch für mich zu verstehen was man unter dem Realteil von etwas bzw. dem Imaginärteil von etwas wie es in der Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} Im(...)+1 > 0 \end{eqnarray*}$
Was ist da genau der Imaginärteil und wie kann ich mir da vorstellen was es für eine Menge ist. Ich meine irgendein Argument addiert mit 1 was größer Null sein soll unglücklich

unglücklich

Bei sowas weiß ich einfach nicht wie ich da rangehen soll, weil mir da unklar ist was sich dahinter versteckt. unglücklich

unglücklich

Es grüßt die kranke

Claudia

04.01.2015, 17:30

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Einsetzen? Wie werden die denn eingesetzt?

Wie du eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 1-\mathrm j+2\mathrm jv \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Genau und wieso tut man das?

Wie man eine konkrete, gegebene Zahl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in den Term $\begin{eqnarray*} 1-\mathrm j+2\mathrm jv \end{eqnarray*}$ einsetzt, werde ich jetzt nicht erklären. Wenn du damit Schwierigkeiten hast, hol das zuerst nach.
Das Ziel des Einsetzens von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in dieses $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist aber wie gesagt, einen Wert $\begin{eqnarray*} f_3(v) \end{eqnarray*}$ zu erhalten – von dem man also weiß, dass er ein Punkt auf derjenigen Geraden ist, auf welche die "alte Gerade" (die parallel zur reellen Achse) unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Denn diese neue Gerade, die als Bild unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ entsteht, wollen wir ja haben. Die ist ja letztendlich das Bild unseres Kreises unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ insgesamt.

Zitat:

Das kann ich mir einfach nicht komplett klarmachen anhand der Rechnung.

Wir hatten am Anfang drei Figuren:

Einen Kreis mit Radius 1 um Null [den Rand von $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ ] bzw. diesen ohne den Punkt $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ .
Das Innere dieses Kreises; die offene Kreisscheibe, also das Innere von $\begin{eqnarray*} K(0,1) \end{eqnarray*}$ .
Das Äußere dieses Kreises.

Wir haben in der ersten Teilaufgabe ermittelt:

Der Kreis wird unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf die imaginäre Achse abgebildet, also genau auf die Menge aller Komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(u)=0 \end{eqnarray*}$ .
Das Innere des Kreises wird unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf die "rechte" Halbebene abgebildet: Auf die Menge aller Zahlen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(u)>0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt können wir folgern, dass das dritte Objekt, das Äußere des Kreises, unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf den "Rest" abgebildet wird: Auf die Menge aller komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , für welche $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(u)<0 \end{eqnarray*}$ .
In der zweiten Teilaufgabe haben wir jetzt ermittelt, dass
$\begin{eqnarray*} M=\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}\bigl(f(z)\bigr)<0\}\,. \end{eqnarray*}$
Demzufolge ist dies gerade das dritte Objekt aus unserer obigen Liste, denn dieses besteht ja aus denjenigen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , deren Bild $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ in der Menge aller Zahlen mit negativem Realteil liegt.

Zitat:

Schwierig ist auch für mich zu verstehen was man unter dem Realteil von etwas bzw. dem Imaginärteil von etwas wie es in der Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} Im(...)+1 > 0 \end{eqnarray*}$

??

Zitat:

Was ist da genau der Imaginärteil und wie kann ich mir da vorstellen was es für eine Menge ist.

[/quote]
Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} a+\mathrm jb \end{eqnarray*}$ mit rellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , was hoffentlich bekannt ist – diejenige reelle Zahl, die neben $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ steht, bzw. die " $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate", wenn man den Punkt einzeichnet.
Eine Menge hat für uns keinen Imaginärteil.

04.01.2015, 20:22

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie man eine konkrete, gegebene Zahl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in den Term $\begin{eqnarray*} 1-\mathrm j+2\mathrm jv \end{eqnarray*}$ einsetzt, werde ich jetzt nicht erklären. Wenn du damit Schwierigkeiten hast, hol das zuerst nach.
Das Ziel des Einsetzens von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in dieses $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist aber wie gesagt, einen Wert $\begin{eqnarray*} f_3(v) \end{eqnarray*}$ zu erhalten – von dem man also weiß, dass er ein Punkt auf derjenigen Geraden ist, auf welche die "alte Gerade" (die parallel zur reellen Achse) unter $\begin{eqnarray*} f_3[/l abgebildet wird. Denn diese neue Gerade, die als Bild unter [l]f_3 \end{eqnarray*}$ entsteht, wollen wir ja haben. Die ist ja letztendlich das Bild unseres Kreises unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ insgesamt.

In Kurzform: Man will zeigen dass der Punkt auf der Geraden A nach der Transformation auf der neuen Geraden auch ein Punkt ist? Zum Einsetzen: Es ist doch nur "Ausmultiplizieren? Sagen wir $\begin{eqnarray*} v=1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich l]1-\mathrm j+2\mathrm jv[/l]

Zitat:

Original von Che Netzer
Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} a+\mathrm jb \end{eqnarray*}$ mit rellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , was hoffentlich bekannt ist – diejenige reelle Zahl, die neben $\begin{eqnarray*} \rm j \end{eqnarray*}$ steht, bzw. die " $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate", wenn man den Punkt einzeichnet.
Eine Menge hat für uns keinen Imaginärteil.

Ich verstehe schon was der Realteil und was der Imaginärteil ist. Das Problem liegt darin zu sehen, was nur im Argument vom Imaginärteil mengenmäßig darstellt. $\begin{eqnarray*} Im \left( \frac{z-2-j}{z-j} \right) \end{eqnarray*}$
Beispiel: $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ davon ist der Imaginärteil ja b. Sprich b auf der imaginären Achse. Und was ist jetzt das $\begin{eqnarray*} Im \left( \frac{z-2-j}{z-j} \right) \end{eqnarray*}$ aufgemalt?

Claudia

04.01.2015, 20:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cl3audia
In Kurzform: Man will zeigen dass der Punkt auf der Geraden A nach der Transformation auf der neuen Geraden auch ein Punkt ist?

So würde ich das nicht sagen. Punkte werden natürlich auf Punkte abgebildet, worauf auch sonst?
Man weiß, dass $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ ein Punkt ist.
Man weiß, dass $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ ein Element von " $\begin{eqnarray*} f(\text{Gerade}) \end{eqnarray*}$ " ist, falls $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf dieser Geraden liegt.
Man weiß, dass " $\begin{eqnarray*} f(\text{Gerade}) \end{eqnarray*}$ " wieder eine Gerade ist.

Vielleicht mal sorum aufgezogen:
[Wenn ich mit Gerade im folgenden Absatz die meine, die parallel zur reellen Achse ist, schreibe ich Gerade'; ihr Bild unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ heißt einfach nur Gerade: $\begin{eqnarray*} f(\text{Gerade'})=\text{Gerade} \end{eqnarray*}$ ]
Wir haben eine Gerade', welche parallel zur reellen Achse ist.
Unter $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ wird diese Menge (die Gerade' bzw. all ihre Punkte) auf eine andere Menge abgebildet, von der wir wissen (s.o.), dass diese wieder eine Gerade ist.
Wir möchten aber genauer wissen, was herauskommt; immerhin ist "eine Gerade" nicht sehr genau, davon gibt es ja beliebig viele.
Wir fragen uns also: Welche Gerade erhalten wir?
Dazu überlegen wir uns: Wenn wir herausfinden wollen, welche Gerade das ist, dann genügt es, zwei Punkte auf ihr anzugeben.
Okay, wie finden wir diese zwei Punkte? Wann liegt ein Punkt $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ überhaupt auf dieser Geraden?
Per Definition tut dies ein Punkt, falls er von der Form $\begin{eqnarray*} u=f_3(v) \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf der ursprünglichen Geraden' liegt.
Gut, um zwei Punkte $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ auf der Geraden zu finden, die wir beschreiben möchten, nehmen wir also irgendwelchen zwei Punkte $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf der ersten Geraden' und bilden $\begin{eqnarray*} u=f_3(v) \end{eqnarray*}$ .

Besser?

Zitat:

Zum Einsetzen: Es ist doch nur "Ausmultiplizieren?

Ja, die Zahl wird mit $\begin{eqnarray*} 2\mathrm j \end{eqnarray*}$ multipliziert und dann wird $\begin{eqnarray*} 1-\rm j \end{eqnarray*}$ addiert.

Zitat:

Das Problem liegt darin zu sehen, was nur im Argument vom Imaginärteil mengenmäßig darstellt. $\begin{eqnarray*} Im \left( \frac{z-2-j}{z-j} \right) \end{eqnarray*}$
[...]Und was ist jetzt das $\begin{eqnarray*} Im \left( \frac{z-2-j}{z-j} \right) \end{eqnarray*}$ aufgemalt?

Irgendetwas. Stell dir das nicht vor. Sag dir höchstens: Aus $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wird zunächst dieser komische Ausdruck berechnet, der wieder eine komplexe Zahl ist. Davon wird dann der Imaginärteil genommen.

Und eben weil dieser Ausdruck so unhandlich ist, wurde die Rechnung durchgeführt, um ihn quasi auf $\begin{eqnarray*} f_3(z) \end{eqnarray*}$ zurückzuführen.

04.01.2015, 21:01

Cl3audia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Besser?

Ich denke schon. Lasse mal den magischen Moment ein wenig wirken.

Zitat:

Original von Che Netzer
Und eben weil dieser Ausdruck so unhandlich ist, wurde die Rechnung durchgeführt, um ihn quasi auf $\begin{eqnarray*} f_3(z) \end{eqnarray*}$ zurückzuführen.

Wenn mir das Vorgehen nur klar werden würde. unglücklich

unglücklich

Claudia

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »