Jacobimatrix- Kettenregel

31.12.2014, 16:28	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobimatrix- Kettenregel Meine Frage: ich soll die jacobimatrix einer verkettung mit der kettenregel berechnen und anschließend schauen ob das stimmt indem ich die jacoimatrix der verkettung direkt bestimmt $\begin{eqnarray} h=f(g) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=\begin{pmatrix}\frac{x_{1} }{x_{2} } \\ x_2 \\ e^{x_{1}-x_{2} } \\ e^{x_{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(y)=\begin{pmatrix} y_{1}y_{2}y_{4} \\ y_{2}y_{3}y_{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die kettenregel bekomme ich iwie nicht hin... aber h müsste doch sein $\begin{eqnarray} h=\begin{pmatrix} \frac{x_{1} }{x_{2} }x_{2} e^{x_{2} } \\ x_{2}e^{x_{1}-x_{2} } e^{x_{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und davon dann die jacobimatrix bilden, oder? kann mir vllt zu der kettenregel wer nen anstoße geben Meine Ideen:
31.12.2014, 17:11	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute mal es geht um $\begin{eqnarray} h=f\circ g \end{eqnarray}$ . Wie sind denn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ definiert? $\begin{eqnarray} g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4, (x_1,x_2)\mapsto (\frac{x_1}{x_2},x_2,e^{x_1-x_2},e^{x_2})^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2, (y_1,y_2,y_3,y_4)\mapsto \begin{pmatrix} y_{1}\cdot y_{2}\cdot y_{4} \\ y_{2} \cdot y_{3} \cdot y_{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Für die Kettenregel musst du erstmal $\begin{eqnarray} \mathcal{J}_f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{J}_g \end{eqnarray}$ bestimmen, hast du das schon gemacht? Im übrigen, ist $\begin{eqnarray} f\circ g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f\circ g : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ ?
31.12.2014, 17:34	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^{4} -> \mathbb R ^{2} , g:U=\left\{\vec{x} \in \mathbb R ^{2} :x_{2}>0 \right\} ->\mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ sry vergessen, ja es geht um die verkettung, habe allerding dieses verkettungssymbol nicht gefunden ja die jacobimatrizen von beiden habe ich iwo auf nem schmierblatt
02.01.2015, 10:06	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe mal davon aus, du meinst $\begin{eqnarray} f\circ g : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f\circ g(x_1,x_2,x_3,x_4) = \left(\frac{x_1\cdot x_2\cdot x_4}{x_2\cdot x_3\cdot x_4},x_2\cdot x_3\cdot x_4, e^{x_1\cdot x_2\cdot x_4-x_2\cdot x_3\cdot x_4},e^{x_2\cdot x_3\cdot x_4}\right) \end{eqnarray}$ und du kannst leicht die Ableitung bestimmen. Die Benutzung der Kettenregel sollte ja nicht das Problem sein, wenn du schon die Jacobi-Matrizen bestimmt hast.

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