Beweisversuche zu den Distributivgesetzen in der Mengenlehre (Teil 1) |
| 01.01.2015, 10:28 | Weiß Nix | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweisversuche zu den Distributivgesetzen in der Mengenlehre (Teil 1) Hallo zusammen, ich wünsche Euch allen ein gutes neues Jahr! Es soll bei folgenden Aussagen zum Distributivgesetz in der Mengenlehre festgestellt werden, ob sie wahr oder falsch sind (anhand von Mengendiagrammen oder Mengenbeispielen). Habe versucht, die Wahrheit bzw. Falschheit dieser Aussagen zu ?beweisen? und wollte Euch bitten mir zu sagen, ob die Beweise korrekt geführt sind oder ob ich Denkfehler drin habe. A, B und C seien Mengen. Leider hat die Formelerstellung mit LATEX - trotz mehrerer Anläufe - bei mir nicht geklappt (bin nicht so fit in Computersachen) . Deshalb habe ich für das Mengenverknüpfungszeichen Vereinigungsmenge den Buchstaben u und für das Mengenverknüpfungszeichen Schnittmenge den Buchstaben n genommen: Vereinigungsmenge -> u Schnittmenge -> n \ sei das Zeichen für Differenzmenge e sei ein Platzhalter für ein Element X das Zeichen für die Mengenverknüpfung "Produktmenge" Dies sind die Behauptungen, bei denen ich versucht habe, die Wahrheit bzw. Falschheit zu beweisen. Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir helfen könntet, indem Ihr mir sagt, ob meine Beweise richtig sind oder nicht. Ich habe nämlich niemand, den ich sonst fragen könnte, denn die Aufgaben stammen aus einem alten Lehrbrief, in dem zwar steht, ob die Aussagen wahr oder falsch sind, in dem aber keine allgemeine Herleitung bzw. Beweis dazu steht. Vielen Dank!!! Meine Ideen: Behauptung 1: A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) Diese Aussage ist wahr. Mein Beweisversuch lautet: B \ C = {e | e ist Element von B und e ist kein Element von C} A n (B \ C) = {e | e ist Element von A und e ist Element von (B \ C)} Den Term in {} kann man auch so schreiben: {e | e ist Element von A und e ist Element von B und e ist kein Element von C} Die Gleichung lautet also: A n (B \ C) = {e | e ist Element von A und e ist Element von B und e ist kein Element von C} "A geschnitten mit (B ohne C) ist die Menge aller Elemente e, für die gilt: e ist Element von A und e ist Element von B und e ist nicht Element von C" Dies ist Gleichung (I) A n B = {e | e ist Element von A und e ist Element von B} A n C = {e | e ist Element von A und e ist Element von C} (A n B) \ (A n C) = {e | e ist Element von (A n B) und e ist kein Element von (A n C)} Rechte Gleichungsseite zusammenfassen: (A n B) \ (A n C) = {e | e ist Element von A und e ist Element von B und e ist kein Element von C} Dies ist Gleichung (II) Da die rechte Seite von Gleichung (I) = rechte Seite von Gleichung (II), folgt daraus, daß Behauptung 1 wahr ist. Behauptung 2: A X (B n C) = (A X B) n (A X C) Diese Aussage ist wahr. Mein Beweisversuch lautet: B n C = {e | e ist Element von B und e ist Element von C} "B geschnitten mit C ist die Menge aller Elemente e für die gilt: e ist Element von B und e ist Element von C, d.h. e muß sowohl in B als auch in C vorkommen" A X (B n C) = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von (B n C)} "A kreuz (B geschnitten mit C) ist die Menge aller geordneten Paare (a,e) für die gilt: a (die erste Komponente der geordneten Paare (a,e)) ist Element von A und e (die zweite Komponente der geordneten Paare (a,e)) ist Element von (B geschnitten mit C)" Dies ist Gleichung (I) A X B = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von B} A X C = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von C} (A X B) n (A X C) = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von B und e ist Element von C} "(A kreuz B) geschnitten mit (A kreuz C) ist die Menge aller geordneten Paare (a,e) für die gilt: a ist Element von A und e ist Element von B und e ist Element vonC." Anders gesagt: Die Schnittmenge der Produktmengen (A kreuz B) und (A kreuz C) ist eine Produktmenge, deren Elemente - die geordneten Paare (a,e) - so aufgebaut sind: Die erste Komponente a ist immer ein Element aus A, die zweite Komponente e muß sowohl in B als auch in C vorkommen, d.h. e ist Element der Schnittmenge von B und C. Man kann die rechte Seite der obigen Gleichung also auch so schreiben: {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von (B n C)} Die Gleichung lautet also: (A X B) n (A X C) = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von (B n C)} Dies ist Gleichung (II) Da die rechten Gleichungsseiten von Gleichung (I) und Gleichung (II) identisch sind, folgt daraus, daß Behauptung 2 wahr ist. Behauptung 3: A X ( B u C) = (A X B) u (A X C) Diese Aussage ist wahr. Mein Beweisversuch lautet: (B u C) = {e | e ist Element von B oder e ist Element von C} "B vereinigt mit C ist die Menge aller Elemente e, für die gilt: e ist Element von B oder e ist Element von C, d.h. e kommt entweder in B oder in C oder in B und C gleichzeitig vor". Man muß hier also beachten, daß die Aussagenverknüpfung "oder" nicht das ausschließende "oder" sondern das einschließende "oder" meint A X ( B u C) = {( a, e) | a ist Element von A und e ist Element von ( B u C)} Da man den Term "e ist Element von ( B u C)" auch so schreiben kann: e ist Element von B oder e ist Element von C kann man obige Gleichung auch so schreiben: A X ( B u C) = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von B oder e ist Element von C} Dies ist Gleichung (I) A X B = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von B} A X C = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von C} (A X B) u (A X C) = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von B} u {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von C} D.h. die Vereinigungsmenge der Produktmenge (AXB) mit der Produktmenge (AXC) ist die Menge aller geordneten Paare (a,e), für die gilt: a ist Element von A und e ist Element von B oder von C oder von beiden. Das kann man auch so schreiben: (A X B) u (A X C) = {(a, e) | a ist Element von A und e ist Element von B oder e ist Element von C} Dies ist Gleichung (II) Da die rechten Gleichungsseiten von Gleichung (I) und Gleichung (II) identisch sind, folgt daraus, daß Behauptung 3 wahr ist. |
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