Länge der Periode von Primzahlinversen

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JTR66 Auf diesen Beitrag antworten »
Länge der Periode von Primzahlinversen
Hey Leute!

Ich habe mal eine Frage:

Kann man sagen, für welche Primzahleninversen die Periode genau p-1 Stellen lang ist?
Also, gibt es dafür eine allgemeine Formel?
Klar, die Primzahlen haben eine bisher nicht ermittelte Regelmäßigkeit und können somit auch bisher nicht in eine Formel P_n = ... gebracht werden.
Aber kann man eventuell nicht dennoch sagen, wie lange die Periode eines Primzahlinversen ist?

Also bei 1/7 hat die Periode 6 Stellen, nämlich 142857, bei 1/19 sind es 18, nämlich 52631578947368421.
Aber bei 1/13 habt ihr z.B. nur 6 Stellen, nämlich 076923.


JTR
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist gemäß kleinen Fermat. Sei nun die kleinste positive Zahl mit , dann gibt es eine ganze Zahl mit. , umgestellt



d.h. eine Dezimalzahl mit Periodenlänge . Offenbar gilt , und es ist genau dann, wenn eine primitive Wurzel modulo ist. Ob man letzteres auch noch einfacher, "greifbarer" charakterisieren kann, entzieht sich meiner Kenntnis. Augenzwinkern
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