Alle Lösungen Sinusaufgabe

01.01.2015, 15:52

Trigo

Alle Lösungen Sinusaufgabe

Guten Tag,
ich habe eine Verständnisfrage zu einer Sinusaufgabe.
Gegeben sei die Funktion :
$\begin{eqnarray*} 2sin(x)=1 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind alle Lösungen dieser Gleichung.

Durch umformen erhalte ich ,
$\begin{eqnarray*} sin(x)=0,5 \end{eqnarray*}$ .

Somit weiß ich das
$\begin{eqnarray*} x1 =\frac{\pi a}{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2 = \frac{5\pi }{6} \end{eqnarray*}$ ist.

Die allgemeine Nullstellendefinition für den Sinus lautet ja $\begin{eqnarray*} x_{k}=k*\pi \end{eqnarray*}$

Nun kommt ja alle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ laut dieser Definition eine neue Nullstelle.
In der Lösung steht jedoch, das $\begin{eqnarray*} x_{k1}=\frac{\pi }{6}+k*2\pi \end{eqnarray*}$ sei, und $\begin{eqnarray*} x_{k2}=\frac{5\pi a}{6}+k*2\pi \end{eqnarray*}$

Wieso 2pi ?
Mir ist klar das die Periode 2 Pi ist, und die Nullstellen sich von dort an wiederholen. Doch das beisst sich doch mit der Nullstellendefinition ?

01.01.2015, 15:57

Hippocampus

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RE: Alle Lösungen Sinusaufgabe

Zitat:

Original von Trigo
[...]
Gegeben sei die Funktion :
$\begin{eqnarray*} 2sin(x)=1 \end{eqnarray*}$
[...]

Das ist doch keine Funktion verwirrt

Sollen etwa die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2sin(x)-1 \end{eqnarray*}$ berechnet werden?

01.01.2015, 16:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Trigo
Mir ist klar das die Periode 2 Pi ist, und die Nullstellen sich von dort an wiederholen. Doch das beisst sich doch mit der Nullstellendefinition ?

Das beißt sich gar nichts: Die Sinusfunktion besitzt die kleinste Periode $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ , es ist also $\begin{align*} \sin(x+2\pi)=\sin(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ . Speziell bedeutet das für eine Nullstelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , dass auch $\begin{align*} x_0+2\pi \end{align*}$ eine Nullstelle ist - das sagt aber nichts darüber aus, ob nicht dazwischen evtl. weitere Nullstellen sind - in dem Fall hier gibt es da eine, nämlich $\begin{align*} x_0+\pi \end{align*}$ .

Man schaue sich nur den Plot der Sinusfunktion an, da erkennt man, dass es zwei verschiedene Typen von Nullstellen bei der Sinusfunktion gibt, was den Kurvenverlauf betrifft:

Die bei steigendem und die bei fallenden Kurvenverlauf, und die wechseln sich alternierend ab.

01.01.2015, 17:54

Trigo

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Trigo
Mir ist klar das die Periode 2 Pi ist, und die Nullstellen sich von dort an wiederholen. Doch das beisst sich doch mit der Nullstellendefinition ?

Ich versteh deine Erklärung, nur könnte man das nicht auch allgemeiner formulieren, das man zwischen den zwei Nullstellenarten ( also die von oben und unten ) nicht unterscheidet und es allgemein formuliert, sodass beide mit inbegriffen sind ?

01.01.2015, 18:05

HAL 9000

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An sich gibt es auch keinen Unterschied: Nullstelle ist Nullstelle.

Nur anscheinend willst du die $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Periodizität der Nullstellen auf die Lösungen der Gleichung $\begin{align*} \sin(x)=\frac{1}{2} \end{align*}$ übertragen, was aber fürchterlich schiefgeht.

Während die $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Periodizität dieser Lösungen tatsächlich stimmt, nur gibt es aber auch bei denen zwei Lösungsscharen, bei steigendem Sinusverlauf $\begin{align*} \frac{\pi}{6}+2k\pi \end{align*}$ und bei fallendem Verlauf $\begin{align*} \frac{5\pi}{6}+2k\pi \end{align*}$ . Also halt dich besser an die $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Periodizität der Gesamtfunktion, als aus der sich zufällig ergebenden $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Periodizität der Nullstellen falsche Schlüsse zu ziehen.

01.01.2015, 19:56

Trigo

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Ok danke, dann werde ich mich in Zukunft mehr an der Periode orientieren.

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