Lösungsmenge eines LGS über verschiedenen Körpern angeben |
| 01.01.2015, 16:13 | Max14 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lösungsmenge eines LGS über verschiedenen Körpern angeben Man hat das folgende LGS über dem Körper K gegeben: x2 + x3 + 2x4 = 0 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 1 2x1 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 + 2x3 = 2 Nun soll man die Lösungsmenge für K = R, Z3, Z5 angeben. Löst man das Gleichungssystem per Gauß - Verfahren auf, so komme ich am Ende auf x1 = 0,4 x2 = 0,2 x3 = 0,6 x4 = -0,4 Und die Matrix sieht am Ende (nach dem Eliminieren) wie folgt aus: Aus zahlreichen Youtube - Videos habe ich gelernt, sieht nach dem Gauß - Verfahren die untere Zeile so aus: 0 0 0 x | y mit x,y ungleich 0 ==> Es gibt genau eine Lösung Sieht sie so aus : 0 0 0 0 | y ==> keine Lösung Sieht sie so aus : 0 0 0 0 | 0 ==> unendlich Lösungen Da sie bei mir die Form 0 0 0 x | y hat, hat sie also genau eine Lösung. Was bedeutet nun das "über dem Körper K" ? Das x1,x2,x3,x4 Element von K sind? Wenn ja, dann ist für K = R die Lösungsmenge L = {x1 = 0,4; x2 = 0,2; x3 = 0,6; x4 = -0,4} und für Z3 und Z5 ist L = leere Menge. Das wäre meiner Meinung aber zu einfach, da ich da keine 5 Minuten für gebraucht habe, und die Aufgabe, sollte sie so richtig sein, nicht wirklich universitätsreif ist. Deswegen habe ich auch das Gefühl etwas nicht richtig gemacht zu haben. Kann mir jemanden irgendeinen Hinweis geben? |
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| 01.01.2015, 16:34 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Woher beziehst Du die Erkenntnis zu und ? Die Zahl -3,75 gibt es so in beiden Körpern nicht. Die Umformungen sind also entsprechend dem Körper anzupassen, so dass die letzte Zeile auch nur Elemente des entsprechenden Körpers enthält. Ein Beispiel: Die Gleichung 5x=2 besitzt im reellen die Lösung x=0,4 Betrachten wir das ganze im , so ergibt sich durch Multiplikation mit 3 (Inverse zur 7) die Lösung x=6. |
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| 01.01.2015, 17:05 | Max14 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aha ~ Da hab ich wohl im Kopf gedacht, dass es trotzdem noch in Ordnung ist, dass alles in den reellen Zahlen liegt, solange die letztendlichen x-Werte dann im Z3, bzw. Z5 liegen. Zumindest sieht es jetzt schonmal besser aus. Danke für den Tipp! |
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