Kugeln in zwei Körbe werfen

01.01.2015, 16:32	Magix	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln in zwei Körbe werfen Frohes Neues miteinander! Auf meinem Weihnachtsblatt in der Einführung Stochastik befindet sich eine Aufgabe, die mir (peinlicherweise) mehr Schwierigkeiten bereitet, als es sollte. Zur Aufgabe: Ich werfe 6 rote und 7 schwarze Kugeln zufällig in einen linken und einen rechten Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Korb sämtliche Kugeln einer Sorte, und im anderen Korb sämtliche der anderen Sorte Kugeln befinden? Ich habe zwei Ansätze, mit unterschiedlichem Ergebnis. Erster Versuch Ich stelle mir vor ich werfe die erste Kugel. Im ersten Wurf ist es egal in welchem Korb ich treffe. Im zweiten Wurf habe ich nun die Möglichkeit den richtigen oder den falschen Korb zu treffen, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Egal welche Farbe ich im ersten Zug gezogen habe, und egal welche Kugel ich nun in der Hand halte, beide Körbe sind immernoch gleich wahrscheinlich, und einer ist richtig und der andere falsch. Im dritten Wurf habe ich wieder die Chance 1/2 den richtigen Korb zu treffen. ... Ich habe 13 Kugeln, also ist meine Wahrscheinlichkeit, immer den richtigen Korb zu treffen, $\begin{eqnarray} {1\over 2^{12}} \end{eqnarray}$ Zweiter Versuch Wenn ich mir alle Möglichkeiten anschaue, wie die Kugeln auf die Körbe verteilt werden können, beispielsweise so: $\begin{eqnarray} \Omega = \{0,1,2,3,4,5,6\}\times\{0,1,2,3,4,5,6,7\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ den Inhalt des linken Korbes darstellt, die erste Stelle des Tupels die Anzahl der roten, die zweite Komponente die Anzahl der schwarzen Kugeln. Der rechte Korb hat immer alle restlichen Kugeln. Dann habe ich $\begin{eqnarray} \|\Omega\| = 7 \cdot 8 = 56 \end{eqnarray}$ Ausserdem sind meine günstigen Ausgänge $\begin{eqnarray} A = \{(6,0),(0,7)\} \end{eqnarray}$ Und damit wäre meine Lösung: $\begin{eqnarray} P(A) = {\|A\|\over \|\Omega\|} = {2 \over 56} = {1 \over 28} \end{eqnarray}$ Nun möchte ich gerne wissen, ob eine Lösung von beiden korrekt ist. Und was genau mein Denkfehler ist. Vielen dank für eure Mühe!
01.01.2015, 17:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Variante ist richtig. Der Fehler in deiner zweiten Betrachtung ist, dass dort kein Laplacescher W-Raum vorliegt: D.h., die Elementarereignisse dort sind mitnichten gleichwahrscheinlich, demnach ist da die Wahrscheinlichkeitsformel "Anzahl günstig / Anzahl alle" nicht anwendbar.
01.01.2015, 17:50	Magix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL 9000, ich habe wohl nurnoch nicht verstanden, warum kein Laplace'scher W-Raum vorliegt. Sind bestimmte Elementarereignisse wahrscheinlicher als andere?
01.01.2015, 17:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine vollkommen vequere Denkungsart, die mir hier leider immer wieder begegnet: Du fragst danach, warum etwas nicht gilt (hier die Laplace-Eigenschaft im zweiten Modell) ? M.E. solltest du dich eher fragen, warum die Laplace-Eigenschaft im ersten Modell gilt!

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