Erwartungswert, Kovarianz mit Parameter

01.01.2015, 18:27	Malicious	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert, Kovarianz mit Parameter Meine Frage: Frohes Neues Jahr, Gegeben ist folgende Tabelle mit $\begin{eqnarray} a\in (\frac{-1}{2}, \frac{1}{3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} (X_{1}/X_{2}) & 1 & 2 & 3 \\-1& \frac{1-3a}{36} & \frac{1}{72}& \frac{1+2a}{24} \\ 0 & \frac{1}{18}&\frac{1}{36} & \frac{1}{12}\\ 1 & \frac{3+a}{12}& \frac{1}{8}& \frac{9-2a}{24}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Man bestimme: (a) die WK-verteilung (b) die Erwartungswerte (c) die Kovarianz (d) alle Werte a, für die $\begin{eqnarray} X_{1} und X_{2} \end{eqnarray}$ unabhängig sind. Meine Ideen: meine Lösung: zu (a) da denke ich meinen die, die Randverteilung: P( $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ = 1)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ , P( $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ = 2)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ ,P( $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ = 3)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ P( $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ = -1)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray}$ , P( $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ = 0)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ , P( $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ = 1)= $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ zu(b): E( $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ , E( $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{13}{6} \end{eqnarray}$ zu (c) COV( $\begin{eqnarray} X_{1},X_{2} \end{eqnarray}$ )= E( $\begin{eqnarray} X_{1}X_{2} \end{eqnarray}$ )- E( $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ )E( $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ ) nebenrechnung E( $\begin{eqnarray} X_{1}X_{2} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{13-3a}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ COV( $\begin{eqnarray} X_{1},X_{2} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{13-3a}{9} - \frac{2}{3}\frac{13}{6} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{-a}{3} \end{eqnarray}$ zu (d): da dreh ich mich irgendwie im Kreis... es muss ja z.B. gelten $\begin{eqnarray} P(X_{1} =0,X_{2}=2)= P(X_{1} =0)P(X_{2}=2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{36} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ So und die Elemente wo jetzt ein a drin ist... das ist irgendwie komisch beispiel: $\begin{eqnarray} P(X_{1} =-1,X_{2}=1)= P(X_{1} =-1)P(X_{2}=1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \frac{1-3a}{36}= \frac{1}{12}\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ wenn ich das jetzt nach a umstelle ist a= o das ist doch doof bei den anderen Gleichungen erhlten ich auch a=0 .... irgendwas hab ich vergessen oder so -.- Ja wäre nett, wenn mir jemand eine Rückmeldung geben kann ob bis hier hin alles ok ist ...
01.01.2015, 20:05	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Erwartungswerte sind richtig aber vertauscht . Die Kovarianz hast du vermutlich auch richtig berechnet aber beim eintippen was vergessen (die werte habe ich auch aber da fehlt etwas im Nenner). Also deine Verwunderung über a=0 versteh ich nicht. Was ist daran seltsam? Für alle anderen Werte sind X1 und X2 eben stochastisch abhängig ist doch ok . Hast du eigentlich auch geprüft, ob die Ereignisse unabhängig sind bei den Werten wo kein a vorkommt? Falls es dort iwo nicht gilt, dann sind die X1 und X2 auch insgesammt nicht unabhängig. Du musst also alle 9 Werte prüfen! Soweit erstmal. LG
01.01.2015, 20:40	Malicius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sneeper, upps ich vertausch das immer wieder bei den Erwartungswerten ... ok ich weiß nicht was mir "im Nenner bei der COV" fehlt, ich noch mal gerechnet (vielleicht sagst du mir was du dort hast?) hmm ich weiß nicht warum mich a= 0 stört, das ist mir zu glatt .... aufjedenfall hab ich den rest auch berechnet ... also sind $\begin{eqnarray} X_{1} und X_{2} \end{eqnarray}$ unbhängig für a = 0 aber in der Aufgabenstellung steht auch "alle Werte a" für die $\begin{eqnarray} X_{1} und X_{2} \end{eqnarray}$ uanbhängig sind a= 0 ist doch nur ein Wert $\begin{eqnarray} P(X_{1} =-1,X_{2}=2)= P(X_{1} =-1)P(X_{2}=2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{72} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{12}\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{1} =0,X_{2}=1)= P(X_{1} =0)P(X_{2}=1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{18} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{1} =0,X_{2}=3)= P(X_{1} =0)P(X_{2}=3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{1} =1,X_{2}=1)= P(X_{1} =1)P(X_{2}=1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3+a}{12} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ a=0 $\begin{eqnarray} P(X_{1} =1,X_{2}=2)= P(X_{1} =1)P(X_{2}=2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{1} =0,X_{2}=3)= P(X_{1} =1)P(X_{2}=3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{9-2a}{24} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \end{eqnarray}$ a=0 ......
01.01.2015, 21:36	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe bei der Kovarianz $\begin{eqnarray} \frac{-1-a}{3} \end{eqnarray}$ raus. Zeig doch mal deinen Rechenweg, dann kann ich mal vergleichen. Vielleicht hab ich mich auch verrechnet vorhin^^. Hehe ja das darfst du nicht so für bahre Münze nehmen. Vielleicht erinnerst du dich noch an Nullstellenberechnung. Da stand auch immer "berechne alle Nullstellen". f(x)=(x-1)^2 hat aber auch nur eine. Das ist die übliche Aufgabenstellung - "berechne alle" - aber es kommt durchaus häufiger vor, dass es nur einen oder gar keinen dieser zu berechnenden Werte gibt. LG
01.01.2015, 22:46	Malicious	Auf diesen Beitrag antworten »
also zunächst hier noch mal zu E( $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{13}{6} \end{eqnarray}$ , E( $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ das hattest du ja auch so ... Nun zu E( $\begin{eqnarray} X_{1}X_{2} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} 11\frac{1-3a}{36}+2(-1)\frac{1}{72}+ (-1)3\frac{1+2a}{24}+11\frac{3+a}{12}+12\frac{1}{8}+31\frac{9-2a}{24} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{13-3a}{9} \end{eqnarray}$ und alles zusammen ist COV( $\begin{eqnarray} X_{1},X_{2} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \frac{13-3a}{9} - \frac{13}{6}\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{-a}{3} \end{eqnarray}$ ok vielleicht entdeckst ja noch ein Fehler :-)
02.01.2015, 00:29	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hab ich... bei mir hat sich iwie ne 16 hingeschummelt wo ne 13 stehen muss. komme damit auch auf dein ergebnis. ich schiebs mal auf die situation des neujahrtages LG
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02.01.2015, 00:34	Malicious	Auf diesen Beitrag antworten »
Hahaha ok gut dann Gute Nacht

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