Divergenz von Skalarfeld multipliziert mit Vektor

02.01.2015, 00:53	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz von Skalarfeld multipliziert mit Vektor Hallo und frohes Neues Jahr! Ich sitze zur Zeit an ein paar Aufgaben für eine Felder Vorlesung. Es geht um halbwegs elementare Vektoranalysis. Uns wurde außerdem gerade dafür eine Formelsammlung gegeben, auf die ich noch zu sprechen kommen werde. Allgemein soll folgendes in Kugelkoordinaten berechnet werden. $\begin{eqnarray} div ( \phi (\vec r ) \cdot \vec r ) \end{eqnarray}$ Das schreibe ich schlicht um: $\begin{eqnarray} div ( \phi (\vec r ) \cdot r \cdot \vec e_r ) \end{eqnarray}$ In Kugelkoordinaten benutzt man ja $\begin{eqnarray} r, \vartheta, \varphi \end{eqnarray}$ , dem entsprechend hat der Vektor $\begin{eqnarray} \vec e_r \end{eqnarray}$ dann folgende Form: $\begin{eqnarray} \vec e_r = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , sodass ich die Aufgabe erhalte: $\begin{eqnarray} div \begin{pmatrix} \phi(\vec r) \cdot r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So. Nun haben wir aus der Formelsammlung einen Term für die Divergenz bei Kugelkoordinaten: $\begin{eqnarray} div \vec A = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r } ( r^2 A_r ) + \frac 1 {r \sin \vartheta } \frac \partial { \partial \vartheta } (A_\vartheta \sin \vartheta ) + \frac 1 {r \sin \vartheta } \frac \partial A_\varphi { \partial \varphi } \end{eqnarray}$ wo bei hier eben das $\begin{eqnarray} A_r = \phi ( \vec r ) \cdot r \end{eqnarray}$ . Der Rest ist bei uns gleich null, da der $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ -Vektor nur in der r-Komponente Werte hat. Im folgenden unterdrücke ich beim Phi die Abhängigkeit vom r. Ich setze also ein und erhalte zunächst: $\begin{eqnarray} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} ( r^3 \cdot \phi ) = \frac 1 {r^2} \cdot ( 3r^2 \phi + r^3 \frac \partial {\partial r} \phi ) = 3 \phi + r \cdot \frac \partial {\partial r} \phi \cdot \end{eqnarray}$ Das wäre für mich zunächst die Lösung gewesen. In der Musterlösung steht jedoch folgender Ausdruck: $\begin{eqnarray} ... = 3 \phi + \vec r \cdot grad \phi \end{eqnarray}$ Nun zu meiner eigentlichen Frage... bzw. doch eher Fragen: Da der Vektor $\begin{eqnarray} \vec r = \begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nur die erste Komponente ungleich Null enthält, kann man die "Musterlösung" natürlich so schreiben, da das Ergebnis sich nicht verändern würde, wenn beim Gradienten von Phi die Ableitungen $\begin{eqnarray} \frac \partial {\partial \vartheta} \phi \neq 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac \partial {\partial \varphi} \phi \neq 0 \end{eqnarray}$ wären ( da wir uns ja in Kugelkoordinaten befinden, müsste man das Skalarfeld ja dennoch nach $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ableiten (können). Ist diese Überführung von meiner Lösung zur Musterlösung korrekt? Und die zweite Frage ist, gibt es eine Möglichkeit (genauer: Seht ihr sie gerade), direkt auf das Ergebnis der Musterlösung zu kommen? Ich hoffe meine Problematik wurde verständlich erklärt und ihr könnt mir helfen. Zunächst aber erstmal gute Nacht!
03.01.2015, 04:30	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} \phi(\vec r) \end{eqnarray}$ hängt nicht direct von r ab, demnach sollst du die Kettenregen benutzen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r}\phi(\vec r)=\frac{\partial \vec r}{\partial r}\cdot grad~\phi(\vec r) \end{eqnarray}$
04.01.2015, 13:53	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey! Dankeschön dafür, hab ich null dran gedacht. Also an Kettenregel schon, nur eher von Mathe I, als Mathe II (im R^n). Ich markier mir das mal dick im Heft. Schönen Restsonntag noch!

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