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02.01.2015, 14:04

SarahK.

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Meine Frage:
Hey Leute :-)

Folgende Aufgabenstellung zu Folgen:

Eine Gruppe von k Freunden möchte eine Weihnachtsfeier ausrichten. Dafür
werden 5 Liter Glühwein gekauft. Die 0,2-Liter-Becher stehen bereit und es
wird rundenweise getrunken. Die Freunde sind aber vorsichtig, daher trinken sie
nur bei der ersten Runde einen ganzen Becher, in der 2. Runde einen halben,
dann einen viertel Becher usw..
Die Frage: wie groß muss k mindestens sein, dass der Glühwein leer wird?

Meine Ideen:
Ok, meine Gedanken zu der Aufgabe habe ich mir auch gemacht:

In der ersten Runde = 1;
In der zweiten Runde = 1/2;

Also wäre es als Formel dargestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} = 5 \end{eqnarray*}$ mit n > 0 und n Element der natürlichen Zahlen.

Ist der Ansatz überhaupt richtig und wenn ja, wie muss ich weiter vorgehen?

Vielen Dank

02.01.2015, 14:22

bijektion

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In der ersten Runde werden $\begin{eqnarray*} k\cdot \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ Liter getrunken, danach $\begin{eqnarray*} k\cdot \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ Liter und in der $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ -ten Runde $\begin{eqnarray*} k\cdot \frac{1}{5\cdot 2^{l-1}} \end{eqnarray*}$ Liter.

Zitat:

Ist der Ansatz überhaupt richtig und wenn ja, wie muss ich weiter vorgehen?

Der Ansatz ist nicht richtig, du musst beachten, dass sich die Mengen summieren.

02.01.2015, 14:27

SarahK.

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Ah, ich habe es schon so gemeint, nur falsch aufgeschrieben. Jetzt denke ich mir allerdings, dass doch die 5 Liter eigentlich nie erreicht werden, oder?

Wenn ich eine Tafel Schokolade habe, diese immer wieder halbiere (1, 0,5,0,25,0,0125 usw.) da komme ich doch nie zum Ende?

02.01.2015, 14:31

bijektion

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Das ganze läuft auf die geometrische Reihe hinaus. Wir haben die Folge der insgesamt getrunkenen Menge nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -Runden gegeben durch $\begin{eqnarray*} M_r=\frac{k}{5}\cdot \sum_{j=0}^{r-1} \frac{1}{2^j} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wenn ich eine Tafel Schokolade habe, diese immer wieder halbiere (1, 0,5,0,25,0,0125 usw.) da komme ich doch nie zum Ende?

Nur nicht in endlicher Zeit, das ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^j}=1 \end{eqnarray*}$ .

02.01.2015, 14:49

SarahK.

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Alles klar, danke dir für den Ansatz. Den Rest versuche ich heute Abend dann mal alleine.

Wink

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