Vektorrechnung - Parallelogramm

02.01.2015, 15:49

jurik

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Vektorrechnung - Parallelogramm

Meine Frage:
wir sollen Zeigen für beliebige u,v ?R3: |u + v|^2 = |u|^2 +|v|^2 ?? u·v = 0

Meine Ideen:
Wenn ich beliebige Zahlen für v und u einsetze, bekomme ich niemals das selbe raus.
Bin ich die Aufgabe vielleicht ganz falsch angegengen ?

Rechenweg ist im Anhang.

02.01.2015, 16:57

Helferlein

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Und das wundert Dich, wo Du doch gerade $\begin{eqnarray*} u,v \in \mathbb{R}^3: |u + v|^2 = |u|^2 +|v|^2 \Rightarrow u^Tv = 0 \end{eqnarray*}$ zeigen sollst?
Wenn Du also zwei zufällige Vektoren nimmst, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zueinander orthogonal sind recht gering und Du wirst entsprechend selten Gleichheit erreichen.

Wenn ihr den Zusammenhang zwischen Betrag und Skalarprodukt behandelt habt, sowie ein paar elementare Eigenschaften des Skalarprodukts, ist die Aufgabe recht einfach zu lösen. Sollte das aber nicht der Fall sein, kannst Du ja mal versuchen für zwei allgemeine Vektoren $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die beiden Seiten der Gleichung ausrechnen und gleichsetzen.

02.01.2015, 22:00

jurik

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Vektorrechnung - Parallelogramm
Ehrlich gesagt ich weiß jetzt nicht genau wie ich das allgemein rechnen soll,
ich habe folgendes versucht:

02.01.2015, 22:12

Helferlein

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Das mit den Wurzeln ist ziemlich schief gelaufen, wobei der Anfang aber stimmt und mehr brauchen wir eigentlich auch erst einmal gar nicht.

Du hast richtig geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} |u|^2=u_1^2+u_2^2+u_3^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |v|^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} |u+v|^2=(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2+(u_3+v_3)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn Du nun $\begin{eqnarray*} |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 \end{eqnarray*}$ hast, was folgt daraus? (Einsetzen der eben gefundenen Gleichungen)

03.01.2015, 00:56

jurik

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Vektorrechnung - Parallelogramm
Also wenn ich das jetzt einsetze habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (u_{1} + v_{1} )^2 + (u_{2} + v_{2})^2 + (u_{3}+v_{3})^2 = u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2 + v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2 \end{eqnarray*}$
was wäre jetzt der nächste Schritt ?
Ich muss doch irgendwie jetzt auflösen / vereinfachen oder?

03.01.2015, 01:01

Bjoern1982

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Zitat:

Ich muss doch irgendwie jetzt auflösen / vereinfachen oder?

Genau, dann mach das doch mal.
Löse die Klammern auf der linken Seite auf und bringe alles auf eine Seite.
Was bleibt dann übrig ?

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04.01.2015, 03:22

jurik

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Ich habe da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (u_{1} ^2 + 2 u_{1}) + (u_{2}^2 + 2u_{2}) + (u_{3} ^2 + 2u_{3}) = v_{1}^2 * v_{1}* v_{2} + v_{2}^2 * v_{3} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist nicht gerade meine Stärke. Kann sein dass hier paar Fehler sind die ich jetzt nicht sehe.

04.01.2015, 09:36

Helferlein

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Schau Dir am besser noch einmal die binomischen Formeln an. Was Du da raus hast ist ziemlich falsch.

08.01.2015, 22:40

jurik

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Vektorrechnung
Hallo Helferlein,
sorry dass ich in langen Abständen schreibe aber ich Berufstätig und habe immer nur Abends Zeit zu lernen.

Also ich habe nach zweiten Versuch folgendes raus.

$\begin{eqnarray*} 2u_{1} v_{1} + 2 u_{2} v_{2} + 2u_{3} v_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
bzw.

$\begin{eqnarray*} 2(u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}) = 0 \end{eqnarray*}$

08.01.2015, 22:42

jurik

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Vektorrechnung
Das ist aber noch nicht der Beweis oder?

08.01.2015, 23:25

Helferlein

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Das sieht doch schon deutlich besser aus. Was bedeutet es nun für die Vektoren, wenn die Klammer Null ergibt?

09.01.2015, 17:50

jurik

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Vektorrechnung
Entweder dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} u_{1} u_{2} u_{3} \end{eqnarray*}$ und Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{1} v_{2} v_{3} \end{eqnarray*}$
aufeinander stehen oder dass die Vektoren eine geschlossene Kette bilden. Kann das sein ?

09.01.2015, 19:38

Helferlein

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Von wievielen Vektoren redest Du? Es sind doch nur zwei, nämlich u und v.
Für die Aufgabe spielt die Folgerung aber keine Rolle, ich wollte Dir lediglich ein klein wenig Verständnis für die Bedeutung der Formeln vermitteln.

Für den Beweis musst Du die Gleichung nur noch in eine Form bringen, die den Ausdruck $\begin{align*} u^Tv \end{align*}$ enthält.

10.01.2015, 20:33

jurik

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Vektorrechnung
Okay versuche ich mal
...
$\begin{eqnarray*} 2(u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}) = 0 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2u_{1}2 v_{1} + 2u_{2} 2v_{2} + 2u_{3} 2v_{3}= 0 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2u_{1}2 v_{1} + 2u_{2} 2v_{2} + 2u_{3} 2v_{3}= 0 = u*v \end{eqnarray*}$

10.01.2015, 22:00

Dopap

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RE: Vektorrechnung
$\begin{eqnarray*} 2( \underbrace {u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}}_{=0 \quad \text{w.g. Nullproduktsatz}}) = 0 \end{eqnarray*}$

doch, das war es schon.

-------------------

Du kannst natürlich auch die Gleichung mit 2 dividieren, dann brauchst du keine Begründung.

@Helferlein: dachte du wärst schon zu Bett...

18.01.2015, 18:04

Jurik

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RE: Vektorrechnung
Dankeschön für die Große Hilfe!!!

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