Konvergenz

02.01.2015, 15:57

Lukases2

Konvergenz

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Mit Hilfe der Hypithese, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 2 konvergiert, habe ich nun folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} := \left( \frac{n^4}{n^2 - 1} - \frac{n^4}{n^2 +1} \right)_{n \in \mathbb{N}} \\ \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n_0 > n : |a_n - a| < \varepsilon \\ \Rightarrow |\frac{n^4}{n^2 - 1} - \frac{n^4}{n^2 + 1} - 2 | < \varepsilon \\ \overset{\cdot n^2 +1 , \cdot n^2 - 1} \Rightarrow |n^4(n^2 + 1) - n^4(n^2 - 1) - 2(n^2 + 1)(n^2-1)| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow |-2(n^2 + 1)(n^2 - 1)| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow |-2(n^4 - n^2 + n^2 -1)| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow |-2n^4 + 2| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow -2n^4 > -2 \pm \varepsilon \\ \Leftrightarrow n > \sqrt[4]{\frac{-2 \pm \varepsilon}{-2}} \end{eqnarray*}$

Habe ich mich da verrechnet? Das mit dem Betrag in der dritt letzten Zeile ist mir irgendwie nicht so ganz geheuer, weil ich ja zwei Ergbnisse bekomme, die beide eine Bedingung an $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ geben, nämlich zum Bsp für $\begin{eqnarray*} \varepsilon := 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_1 < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_1 < \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt einfach die Bedingung $\begin{eqnarray*} n_1 < 0 \end{eqnarray*}$ wähle, weil diese ja die andere sowieso schon ausschließt, dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{15} < 2 \end{eqnarray*}$ ,
was ja wahr ist.

Oder habe ich einen Grundsatz-fehler?

PS: Kennt sich jemand mit Latex aus und kann mir sagen, wie ich die Formel in der alignl-Umgebung linksbündig schreiben kann?

02.01.2015, 16:09

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RE: Konvergenz
Der Übergang von der dritten zur vierten Zeile sollte dir nicht geheuer sein unglücklich

Auf der linken Seite hast du fröhlich mit $\begin{eqnarray*} n^2\pm 1 \end{eqnarray*}$ multipliziert, rechts aber nicht.

Im Übrigen wird das sehr übersichtlich, wenn man $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mal auf einen Bruchstrich schreibt.

02.01.2015, 16:30

Lukases2

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$\begin{eqnarray*} \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} := \left( \frac{n^4}{n^2 - 1} - \frac{n^4}{n^2 +1} \right)_{n \in \mathbb{N}} \\ \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n_0 > n : |a_n - a| < \varepsilon \\ \Rightarrow |\frac{n^4}{n^2 - 1} - \frac{n^4}{n^2 + 1} - 2 | < \varepsilon \\ \Rightarrow | n^4(n^2 + 1) - n^4(n^2 - 1) - 2(n^2 + 1)(n^2 - 1) | < \varepsilon (n^2+1)(n^2-1) \\ \Rightarrow |n^6 + n^4 - n^6 + n^4 - 2(n^4 - n^2 + n^2 -1)| < \varepsilon (n^4 - n^2 + n^2 -1) \\ \Rightarrow |2n^4 -2n^4 +2|<\varepsilon n^4 - \varepsilon \\ \Rightarrow 2 < \varepsilon n^4 - \varepsilon \\ \Rightarrow 2 + \varepsilon < \varepsilon n^4 \\ \Rightarrow n < \sqrt[4]{\frac{2+ \varepsilon}{\varepsilon}} \end{eqnarray*}$

Ich kann aber trotzdem mein $\begin{eqnarray*} \varepsilon := 2 \end{eqnarray*}$ wählen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n := -2 \end{eqnarray*}$ .
Ich komme damit auf das selbe Ergebnis.
Richtig?

02.01.2015, 17:03

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Die letzte Ungleichung ist falsch.
Wenn du die richtig stellst und dir dann auch noch überlegst, dass du die ganze Kette auch rückwärts gehen kannst, bist du fertig.

Was du damit

Zitat:

Ich kann aber trotzdem mein $\begin{eqnarray*} \varepsilon := 2 \end{eqnarray*}$ wählen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n := -2 \end{eqnarray*}$ .
Ich komme damit auf das selbe Ergebnis.
Richtig?

willst, ist mir völlig schleierhaft. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist der Laufindex deiner Folge, $\begin{eqnarray*} n=-2 \end{eqnarray*}$ sollte dir also doch irgendwie zu denken geben. Und welchen Zweck es haben soll, ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu wählen wirst du mir sicher erklären können.

02.01.2015, 17:41

Lukases2

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Zitat:

Die letzte Ungleichung ist falsch.

Warum ist die Ungleichung falsch? Das hier habe ich mir gedacht:

$\begin{eqnarray*} \overset{\cdot \frac{1}{\varepsilon}} \Rightarrow \frac{2+ \varepsilon}{\varepsilon} < n^4 \overset{\sqrt[4]{ }} \Rightarrow \sqrt[4]{\frac{2 + \varepsilon}{\varepsilon}} < n \end{eqnarray*}$

Zitat:

und dir dann auch noch überlegst, dass du die ganze Kette auch rückwärts gehen kannst

Was meinst du damit?

Zitat:

Was du damit Zitat: Ich kann aber trotzdem mein $\begin{eqnarray*} \varepsilon := 2 \end{eqnarray*}$ wählen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n := -2 \end{eqnarray*}$ . Ich komme damit auf das selbe Ergebnis. Richtig? willst, ist mir völlig schleierhaft

Damit wollte ich eine Gegenprobe machen. Sprich ein Epsilon wählen, dass den Bedingungen genügt und dann den Weg durchwandern.

Zitat:

sollte dir also doch irgendwie zu denken geben

Stimmt, n soll ja $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein.

02.01.2015, 17:42

Lukases2

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Ach, ich seh's, es müsste heißen:
$\begin{eqnarray*} \overset{\cdot \frac{1}{\varepsilon}} \Rightarrow \frac{2+ \varepsilon}{\varepsilon} < n^4 \overset{\sqrt[4]{ }} \Rightarrow \sqrt[4]{\frac{2 + \varepsilon}{\varepsilon}} < n \end{eqnarray*}$ , so wie ich es gerade auch geschrieben habe.

02.01.2015, 21:05

Matt Eagle

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von URL
Im Übrigen wird das sehr übersichtlich, wenn man $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mal auf einen Bruchstrich schreibt.

Irgendwie scheint das untergegangen zu sein, deswegen nochmal:

Diesem Hinweis solltest Du Beachtung schenken statt mit esoterischer Epsilontik loszulegen.

03.01.2015, 16:19

Lukases2

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Wenn das so richtig ist, dann würde ich gerne bei dieser Aufgabe so verbleiben. Anders sieht es bei b) aus:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{n^3}{n^2 - 1}- \frac{n^3}{n^2+1} = \frac{2n^3}{n^4-1} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme leider einfach keine Lösung für die Ungleichung. Ich komme immer wieder auf die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2n^3 < \varepsilon n^4 - \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich das lösen? verwirrt

03.01.2015, 16:27

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Warum verwendest du nicht einfach $\begin{eqnarray*} b_n=\frac 1 n a_n \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2015, 17:58

Lukases2

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Ich habe das nicht gesehen und leider verstehe ich auch nicht, was mit das bringt. unglücklich

03.01.2015, 18:02

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$\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ist das Produkt zweier konvergenter Folgen. Damit ist die Konvergenzfrage sofort beantwortet.

03.01.2015, 18:15

Lukases2

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Oje

Rein rechnerisch wäre das aber viel schwieriger? Wenn ich das in der Klausur nämlich nicht sehe, wäre es ja gut, das auch auf dem längeren Weg rechnen zu können.

03.01.2015, 18:47

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Wenn du bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{n^3}{n^2 - 1}- \frac{n^3}{n^2+1} = \frac{2n^3}{n^4-1} \end{eqnarray*}$ angekommen bist, solltest du erkennen, dass es sich um eine Nullfolge handelt.
Also versucht man zu zeigen: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2n^3}{n^4-1}\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \textcolor{red}{>} n_0 \end{eqnarray*}$
(vergleiche das mit dem, was du an entsprechender Stelle immer geschrieben hast!).
Jetzt ist es überhaupt nicht nötig, das kleinste solche $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zu finden. Es reicht, irgendeines zu finden. Deswegen versucht man den linken Teil der Ungleichung so abzuschätzen, dass er handlicher wird.
Hier ist z.B. $\begin{eqnarray*} n^4-1>\frac 1 2 n^4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3}{n^4-1} < \frac{2n^3}{\frac 1 2 n^4}=\frac 4 n \end{eqnarray*}$
Also gilt doch die gewünschte Ungleichung sicher dann, wenn auch noch $\begin{eqnarray*} \frac 4 n < \epsilon \end{eqnarray*}$ bleibt
(warum darf ich den Betrag in diesem Beispiel weglassen?).
Das gilt aber, wenn $\begin{eqnarray*} n>\frac 4 \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.
Jetzt muss man nur noch Buchhaltung machen: Wir haben im Lauf der Rechnung zwei Bedingungen gestellt: $\begin{eqnarray*} n\geq 2, n>\frac 4 \epsilon \end{eqnarray*}$
Die erste Bedingung ist hier keine Einschränkung. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist nämlich ohnehin nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ definiert.
Also kann man für $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ eine beliebige natürliche Zahl wählen, die $\begin{eqnarray*} n_0 >\frac 4 \epsilon \end{eqnarray*}$ erfüllt.

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