Binomialkoeffizent Beweis

02.01.2015, 18:51	Shenanigator	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizent Beweis Meine Frage: Hallo im neuen Jahr und nachträglich ein gutes Neues! Ich soll folgende Formel beweisen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Entsprechend der Binomialformel also: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ kommt bei mir folgende Gleichung heraus. Dabei habe ich die Klammern des Nenners aufgelöst. $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = \frac{n!}{k!(n+1-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k-1)!} \end{eqnarray}$ Jetzt hänge ich jedoch daran den nächsten Schritt zu tun, da ich nicht weiß inwiefern man Fakultäten miteinander ausmultiplizieren kann oder überhaupt damit rechnen kann. Z.b. der erste Nenner, wenn ausmultipliziert sollte doch in etwa $\begin{eqnarray} k!n! + k! -k²! \end{eqnarray*}$ ergeben oder? Zumindest wenn man die doppelte Fakultät ignoriert. Ich gehe mal davon aus das der Beweis beinhaltet das auf beiden Seiten das gleiche rauskommt aber ich hänge fest.
02.01.2015, 19:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Gleichung, die bewiesen werden soll, darf nicht als gültig vorausgesetzt werden. Beginne daher mit der rechten Seite der Gleichung und forme so lange um, bis du die linke Seite erhältst. Zweitens. Du hast die Definition des Binomialkoeffizienten nicht korrekt angewendet. Zum Beispiel gilt $\begin{align} {n \choose {k-1}} = \frac{n!}{(k-1)! \cdot \left( n - (k-1) \right)!} = \frac{n!}{(k-1)! \cdot (n-k+1)!} \end{align}$ Überprüfe deine Ausdrücke daraufhin noch einmal. Drittens. Fakultäten sind nichts anderes als abgekürzte Produkte spezieller Art. Und Brüche werden addiert, indem man sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringt, meist durch Erweitern. Und mehr Wissen ist zur Lösung der Aufgabe nicht vonnöten.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »