Grenzwert beweisen

03.01.2015, 12:40

balance

Grenzwert beweisen

Hallo, bitte habt mal einen kritischen Blick.

Definition:
$\begin{eqnarray*} lim_{x \to a}f(x)=L \end{eqnarray*}$ falls
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 s.d. \forall |x-a|<\delta : |f(x)-L|< \epsilon \end{eqnarray*}$

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} lim_{x \to 5}\frac{x^3-5x^2+3x-15}{x-5} \end{eqnarray*}$

Für den Beweis müssen wir einfach die Definition anwenden.

Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ (sollte ich dazu sagen, dass es sehr klein ist?)

Anmerkung:
Da wir nun ein Epsilon haben, können wir eine Deltaumgebung ("Intervall von x") in Abhängigkeit von Epsilon suchen und vergleichen mit der Definition. Also: $\begin{eqnarray*} x \in (x-\delta, x+\delta) \end{eqnarray*}$ Wir müssen also folgendes bekommen:

$\begin{eqnarray*} |x-5| < \delta => |f(x)-28| < \epsilon \end{eqnarray*}$
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Wir wählen also ein kleines Epsilon und suchen dass x.

$\begin{eqnarray*} |\frac{x^3-5x^2+3x-15}{x-5}-28|=|\frac{(x-5)(x^2+3)}{x-5}-28|=|x^2-25|<\epsilon => -\epsilon < x^2-25 < \epsilon \end{eqnarray*}$ (Da x quadriert ist, können wir den kleiner als x Fall ignorieren)

Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\epsilon+25}<x<\sqrt{\epsilon+25} \end{eqnarray*}$ Da unser Epsilon sehr sehr sehr klein ist, wir unser x auf 5 "eingeschränkt". Also:

Setze $\begin{eqnarray*} \delta = \sqrt{\epsilon+25} \end{eqnarray*}$

Für dieses Delta gilt ja gerade (wir habens ja daraus bis hier her "abgeleitet")

$\begin{eqnarray*} |x-5| < \delta => |f(x)-28| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert stimmt also. Weiterer Hinweis dass unsere Beweis stimmt ergibt folgendes:

Für unser Epsilon muss gelten: $\begin{eqnarray*} \epsilon+25\geq 0 \end{eqnarray*}$ Da unser Epslion ja unendlich klein ist, jedoch nicht negativ sein kann, stimmt auch das.

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Was sagt ihr dazu?

03.01.2015, 13:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von balance
Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\epsilon+25}<x \end{eqnarray*}$

Falsche Umformung dieses linken Teils der Doppelungleichung.

03.01.2015, 14:07

balance

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Was? Falsche Umformung? Was ich gemacht habe ist:

$\begin{eqnarray*} -\epsilon < x^2-25 < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\epsilon < x^2-25 \end{eqnarray*}$ Das kann man ignorieren, da wir ja x quadrat haben. nicht?

Dann bekommen wir ja:

$\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{\epsilon+25} \end{eqnarray*}$ Hier haben wir wiederum 2 fälle, nicht?

Also: $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\epsilon+25}<x<\sqrt{\epsilon+25} \end{eqnarray*}$

03.01.2015, 17:13

HAL 9000

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Was willst du wie ignorieren??? geschockt

Aus $\begin{align*} -\epsilon < x^2-25 \end{align*}$ folgt durch Addieren von 25

$\begin{align*} 25-\epsilon < x^2 \end{align*}$

und daraus dann durch Wurzelziehen

$\begin{align*} \sqrt{25-\epsilon} < |x| \end{align*}$ .

Dir geht es hier nun um eine Umgebung von 5, also sind die negativen x-Lösungen hier irrelevant, es folgt

$\begin{align*} \sqrt{25-\epsilon} < x \end{align*}$

zusammen mit dem (weitgehend) richtigen rechten Teil dann

$\begin{align*} \sqrt{25-\epsilon} < x < \sqrt{25+\epsilon} \end{align*}$ .

03.01.2015, 17:51

balance

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Also, Ausgangspunkt ist wieder: $\begin{eqnarray*} -\epsilon < x^2-25 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Hier haben wir ja die 2 Möglichkeiten:
1) $\begin{eqnarray*} -\epsilon < x^2-25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|>\sqrt{25-\epsilon} \end{eqnarray*}$ (Wie du gesagt hast, können wir ja den negativen Fall ignorieren, weil unsere Umgebung um die pos. 5 ist.)
$\begin{eqnarray*} x>\sqrt{25-\epsilon} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} x^2-25 < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < \sqrt{25 + \epsilon} \end{eqnarray*}$ (Wieder nur pos.)

Unser x kann also wie folgt gewählt werden: $\begin{eqnarray*} \sqrt{25 - \epsilon} < x < \sqrt{25 + \epsilon} \end{eqnarray*}$

Naja, wenn wir uns nun in Erinnerung rufen, dass wir unser Epsilon ja beliebig klein wählen können, sehen wir, dass x bei 5 liegt. Wir haben also die Deltaumgebung $\begin{eqnarray*} (5-\sqrt{25 - \epsilon}, 5 + \sqrt{25 + \epsilon}) \end{eqnarray*}$ . Wir wissen nun also, dass unser x innterhalb dieses Bereiches liegen kann, dabei ist das ganze ja abhängig von Epsilon. Da wir ja wie bereits erwähnt Epsilon beliebig klein wählen können, wird dieser Bereich beliebig klein. Die Deltaumgebung folgt also aus der Epsilonumgebung welche wiederum abhängig von unserer Wahl ist.

Es gilt also: $\begin{eqnarray*} |x-5| < \delta => |f(x)-28| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist gerade die Definition.

Weiter wüsste ich gerne, was du mit weitgehend meinst? Was ist da falsch? Stimmen meine obigen Gedankengänge?

Ich möchte noch anmerken: Falls der GW nicht gestummen hätte, hätten wir dass z.B. daran bemerkt, dass Epsilon nicht beliebig klein wählbar ist oder dass die Epsilonumgebung unsinnig gewesen wäre. Kann man das so absegnen?

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