Anwendung: Integrieren mit Zylinderkoordinaten |
| 03.01.2015, 12:48 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Anwendung: Integrieren mit Zylinderkoordinaten u zwischen den Zylindern zu berechnen, der Volumenstrom ist gegeben. Mein Vorgehen: der Volumenstrom ist das Integral der Geschwindigkeit u über der Fläche dS, dabei ist in Zylinderkoordinaten dS = r*dr*dphi. Für dr integriere ich dabei von R_innen bis R_außen und komme auf u=Volumenstrom/(2*pi*(R_außen-R_innen). In der Musterlösung gehen sie ähnlich vor: Da u*r konstant ist (in der Kontinuitätsgleichung bleibt nur noch die Änderung von u über r übrig, die ist 0), schreiben sie u=Konstante/r und integrieren das dann über nur über den Winkel von 0 - 2*pi, nicht aber über den Radius, erhalten dementsprechend: Volumenstrom=(Konstante/r)*r*dphi = 2*pi*Konstante. Damit und mit u*r=Konstante (s. o.) ist u=Volumenstrom/(2*pi*r). Wo liegt denn jetzt der Fehler in meiner Rechnung? |
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| 05.01.2015, 18:17 | Bananenbruno | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
r dr integriert zu halbem r quadrat
also sowas wie
Die Integration r dr ergibt erstmal ein halbes r Quadrat, entsprechend die Quadrate der R_a und R_i. Und auch nur, wenn u nicht von r abhängt. Nach meiner Auffassung steht die erste Aussage in der Musterlösung:
Es kann doch nur eines gelten: - Entweder Wenn u*r konstant ist, dann hängt u sehr wohl von r ab, da u mit wachsendem r abnimmt. - Oder Wenn u sich nicht ändert, ist es doch konstant, dann kann aber nicht auch noch u*r konstant sein. Es mag ja der "Entweder-Fall" gelten, also dass sie u=Konstante/r schreiben dürfen, wenn u(r) so gegeben ist, aber sie
und erhalten doch dann ein r zu wenig und damit in der Dimension vom
auch einmal die Dimension einer Länge zu wenig. |
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| 13.01.2015, 15:38 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: r dr integriert zu halbem r quadrat
Hier habe ich wohl geschlampt: Tatsächlich bleibt aus der Kontinuitätsgleichung d(u*r)/dr=0 übrig. Ich habe durch r geteilt (mathematisch korrekt vielleicht r>0 vorausgesetzt, aber r=0 interessiert hier ja nicht) und damit du/dr erhalten. Das ist wohl nicht zulässig, aber ich sehe nicht, wieso nicht!? Weiterhin habe ich das falsche Integral gewählt, nämlich die Grund- statt die Mantelfläche des Zylinders. Das Ergebnis ist dann - wie auch in der Musterlösung - ein "ebener" Volumenstrom, also vermutlich wurde die z-Koordinate als unendlich angenommen und nach dem Integrieren mit r*dphi*dz durch z geteilt. Der "Volumenstrom ist also eine kleine Mogelpackung, aber so komme ich immerhin auf das Ergebnis. Es mag ja der "Entweder-Fall" gelten, also dass sie u=Konstante/r schreiben dürfen, wenn u(r) so gegeben ist, aber sie
und erhalten doch dann ein r zu wenig und damit in der Dimension vom
auch einmal die Dimension einer Länge zu wenig.[/quote] |
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| 14.01.2015, 19:13 | Bananenbruno | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| help please, u(r) unklar Kann eine dritte Person hier übernehmen? Mit der Frage komme ich, so wie sie da steht, kaum klar.
Einen (im Weiteren nachgefragten) unzulässigen Schritt sehe ich an der Stelle, an der aus d(ru)/dr = 0 nach Produktregel 1*u + r*du/dr = 0 gelten muss, auch neben sonstigen Umrechnungen, die in eine andere Richtung weiter gehen. Aus den gesamten bisherigen Informationen kann ich aber leider immer noch keine Aussage über eine (Un-)Abhängigkeit u(r) bzw. einen Zusammenhang zwischen u und r entnehmen.
Gut, da betrachtet man halt einen "ebenen" Strom, dessen Dimension (wenn man eine Analogie Kontinuumsmechanik – Elektrodynamik herbeiziehen möchte), derjenigen der magnet. Feldstärke entspricht, wenn der Volumenstrom dem elektrischen Strom entspräche. Oder, ohne diese Analogie, z. B. bei einem Transportmittel nicht der verfügbare (Lade-)rauminhalt, sondern nur die verfügbare (Lade-)fläche, deren Bewegung abhängig von der Zeit betrachtet wird. |
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