Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade
Hallo liebe Boardies,

ich versuche gerade ein Beweis zu verstehen, habe aber an einigen Stellen Schwierigkeiten.
Also der Satz lautet:

Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade.


Beweis:

Wir nehmen an, dass die QF die Ordnung 2m-1 hat, also exakt ist für Polynome vom Grad 2m-2, und wählen ein beliebiges . Dann werden wir zeigen, dass die QF auch für g exakt ist. g können wir folgendermaßen darstellen:



1. Frage: Warum diese Darstellung? Wie kommt auf diese Darstellung? Etwa aus dem Nichts? Fällt das dem aus dem Himmel? Es gibt doch unendliche viele Darstellungen. Wieso gerade diese? Warum ist v(t) also der Rest P_{2m-2}?

Aus Symmetriegründen ist



so dass I(g) = I(v) gilt. Nach Voraussetzung ist die QF für v exakt und wegen der Symmetrie der QF gilt:
(bevor wir weiter machen, an dieser Stelle eine Frage)

2.Frage: Was wird hier jetzt gemacht? Soviel ich verstanden habe, wird hier das Integral g analytisch berechnet. Und dann aus Symmetriegründen argumentiert, dass eben dann auch das Integral über v ebenfalls 0 ist. Warum, habe ich nicht verstanden.

weiter gehts...




Die Summe ist also Null. Die QF integriert damit die Funktion g exakt.

3.Frage: Wo sehe ich dass die QF gleich 0 ist? Hier verstehe ich gar nichts.


Bitte um Hilfe.
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RE: Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade
zu 1. Wie sich das gehört, fällt das vom Himmel Augenzwinkern Warum gerade diese Darstellung? Weil sie funktioniert!
Der erste Summand in der Darstellung von g ist . Wenn c der Koeffizient von in g ist, dann kann der Rest nur noch ein Polynom niedrigeren Grades sein.

zu 2. Der Integrand ist symmetrisch zu 1/2. Deshalb verschwindet das Integral. Damit ist dann

zu 3. links und rechts steht bis auf das Vorzeichen die gleiche Zahl: . Das geht nur, wenn ist.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade
Vielen Dank für die Antwort URL.

Also was ich verstanden habe ist folgendes:

Um v brauchen wir uns nicht kümmern, weil die QF v exakt integriert.
Uns interessiert also nur noch der erste Summand. Dieser ist analytisch integriert gleich 0.
So wollen wir testen, ob dieser auch numerisch mit der QF 0 ergibt, oder?
Anscheinen ist das auch der Fall, wobei ich nicht verstehe wieso. Ich kann je jeden Term links und rechts gleichsetzen, dann an einer Seite ein Minus setzen und sagen, dass das nur erfüllt ist, wenn der Term = 0 ist. Klingt für mich bisschen nach "gemogelt"...
Kannst du mich bitte aufklären URL?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade
Das erste Gleichheitszeichen gilt wegen der Symmetrie der Quadraturformel, das zweite ist nur eine Indexverschiebung in der Summe.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Ordnung einer symmetrischen Quadraturformel ist gerade
Ich danke dir vielmals URL Freude
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