Steigkeit einer Funktion beweisen

03.01.2015, 18:19

mathenull000

Steigkeit einer Funktion beweisen

Meine Frage:
Hi Leute, ich soll zeigen, dass folgende Funktion stetig in allen x aus R ist
$\begin{eqnarray*} g(x)=xsin(\frac{1}{x}) , x\neq 0 g(x)=0 ,x=0 \end{eqnarray*}$
Beweisen soll ich das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium oder Folgenkriterium.

Meine Ideen:
Ich vermute, dass die Funktion stetig ist, deshalb will ich das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen. Ich würde nun zum einen zeigen, dass die Funktion in x=0 stetig ist und zum anderen, dass sie in jedem $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.
Ich fange nun für x=0 an. Die Def. von dem Krit. schreib ich nicht noch mal hin.
$\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1. Fall: x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})|=|x-x_{0})|<\delta=\epsilon \end{eqnarray*}$
Also wäre in dem Fall $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. Fall: x\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})|=|xsin(\frac{1}{x})-x_{0}|=|xsin(\frac{1}{x})|\cdot|x-x_{0}|<|xsin(\frac{1}{x})|\delta<\delta=\epsilon \end{eqnarray*}$
In dem Fall wäre wieder $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$
=> Funktion ist in x=0 stetig. Soweit richtig?
Das Selbe würde ich dann auch für $\begin{eqnarray*} x_{0}\neq0 \end{eqnarray*}$ machen.
Ach und den Betrag mit sin habe ich nur rausgezogen, weil $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ war, und ich es nur wegen dem Delta dazugeschrieben habe als $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ .

03.01.2015, 18:43

bijektion

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Deine Ansätze sind schon etwas komisch.

Im Fall $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|f(x)| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\sin x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ , damit bist du fertig. Das sollte bei dir passen.

Im Fall $\begin{eqnarray*} x_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ hast du $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|x\cdot\sin\frac{1}{x} -x_0\cdot\sin\frac{1}{x_0}|= |(x-x_0)\cdot \sin\frac{1}{x}+x_0\cdot\sin\frac{1}{x}-x_0\cdot\sin\frac{1}{x_0}| \end{eqnarray*}$ .

03.01.2015, 19:38

mathenull000

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Ok gut, naja zu $\begin{eqnarray*} x_{0}\neq 0 \end{eqnarray*}$ war ich bei der Fragestellung nicht gekommen, da bin ich jetzt auch darauf gestoßen.
Wieder zu $\begin{eqnarray*} x_{0}= 0 \end{eqnarray*}$ und dem E-D-Krit.. Ich glaube, ich habe das noch nicht ganz verstanden. Wo steckt nun ein Delta bzw. Epsilon in der einen Zeile bei dir?
Zum Problem $\begin{eqnarray*} x_{0}\neq 0 \end{eqnarray*}$
Da habe ich jetzt folgenden Lösungsansatz mit dem Folgenkrit.:
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit $\begin{eqnarray*} x_{n}->x_{0} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ , dann folgt:
$\begin{eqnarray*} f(x_{n})=x_{n}sin(\frac{1}{x_{n} } ) -> x_{0}sin(\frac{1}{x_{0} } )=f(x_{0}) \end{eqnarray*}$
Passt das? Oder muss ich noch extra den Fall für $\begin{eqnarray*} x_{n}=0 \end{eqnarray*}$ erwähnen?

04.01.2015, 09:41

bijektion

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Zitat:

Wieder zu $\begin{eqnarray*} x_{0}= 0 \end{eqnarray*}$ und dem E-D-Krit.. Ich glaube, ich habe das noch nicht ganz verstanden. Wo steckt nun ein Delta bzw. Epsilon in der einen Zeile bei dir?

Ich hab dir eigentlich alles nötige gegeben: Wähle $\begin{eqnarray*} \delta=\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Dann gilt mit $\begin{eqnarray*} |x-0|=|x|<\delta \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|f(x)|=|x\cdot\sin\frac{1}{x}|\leq |x|<\delta=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Zu $\begin{eqnarray*} x_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Das stimmt natürlich, aber genau diese Konvergenz ist ja zu zeigen. Nutze doch z.B. erstmal $\begin{eqnarray*} |x\cdot\sin\frac{1}{x} -x_0\cdot\sin\frac{1}{x_0}|= |(x-x_0)\cdot \sin\frac{1}{x}+x_0\cdot\sin\frac{1}{x}-x_0\cdot\sin\frac{1}{x_0}| \end{eqnarray*}$ .

04.01.2015, 22:01

mathenull000

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Ok gut, den ersten Fall habe ich jetzt verstanden. Nur eine Sache noch: Bei dir wird $\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Was ist mit dem Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ? Denn dann wäre ja $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Ich seh schon, dass es trotzdem passen würde, nur ist da keine Fallunterscheidung nötig?

Zum Zweiten: Reicht der Beweis mit dem Folgenkriterium? Bzw. ist dieser bis auf Feinheiten richtig? Dieser würde doch normal ausreichen oder nicht?
Zum E-D-Krit., da setz ich an deine Gleichung an:
$\begin{eqnarray*} = |x-x_{0} \cdot sin \frac{1}{x} | \leq |x+x_{0} | \end{eqnarray*}$ Das ist jetzt nicht ganz das gewünschte.. Mit $\begin{eqnarray*} |x+x_{0} |=|-x-x_{0} | \end{eqnarray*}$ kann ich jetzt auch nicht so viel anfangen..

04.01.2015, 23:22

bijektion

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Zitat:

Ich seh schon, dass es trotzdem passen würde, nur ist da keine Fallunterscheidung nötig?

Der Fall ist trivial.

Zitat:

Reicht der Beweis mit dem Folgenkriterium?

Folgen- und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium sind äquivalent.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = |x-x_{0} \cdot sin \frac{1}{x} | \leq |x+x_{0} | \end{eqnarray*}$ Das ist jetzt nicht ganz das gewünschte..

Wie kommst du da überhaupt drauf?