Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist

03.01.2015, 21:37

qwertz235

Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist

Meine Frage:
Guten Abend,
die Aufgabe lautet:

Es sei $\begin{eqnarray*} M:=\left\{ z\in \mathbb{C}|Re(z^{2}=1\wedge Re(z)>0 \right\} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\longmapsto cosh(x)+isinh(x) \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Meine Ideen:
Für die Menge erhalte ich die für ein allgemeines $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} a^{2}=1+b^{2} \end{eqnarray*}$ , also eine Hyperbel, wenn ich mich nicht irre. Die Funktionsgleichung habe ich umgeschrieben zu:

$\begin{eqnarray*} cosh(x)+isinh(x)=\frac{1}{2}\left(e^{x} +e^{-x} \right)+\frac{1}{2}i\left(e^{x} -e^{-x} \right) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nun aber nicht, wie ich zeigen soll, dass die Funktion bijektiv ist. Könnte mir da jemand vielleicht helfen?

Viele Grüße

03.01.2015, 22:09

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
Bis zur Definition brauchst du gar nicht zu gehen, Eigenschaften der Hyperbelfunktionen reichen aus.
Was folgt aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

03.01.2015, 22:41

qwertz235

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
Aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} cosh(x)+isinh(x)=cosh(y)+isinh(y)\Leftrightarrow \frac{cosh(x)-cosh(y)}{sinh(y)-sinh(x)} = i \end{eqnarray*}$ . Ehrlich gesagt komme ich da nicht weiter.

03.01.2015, 22:43

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
vergleiche Real- und Imaginärteil

03.01.2015, 23:25

qwertz235

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
Also folgt daraus einfach, dass $\begin{eqnarray*} cosh(x)=cosh(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sinh(x)=sinh(y) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ist? Ich verstehe nicht, wo man die Hyperbelfunktion, also die Menge M ins Spiel bringt.

03.01.2015, 23:30

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
Man muss natürlich begründen, warum x=y folgt.
Welche Eigenschaft von f ist damit gezeigt? Welche fehlt noch?

03.01.2015, 23:45

qwertz235

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
Damit wäre Injektivität gezeigt und es fehlt noch die Surjektivität, aber ich weiß nicht, wie man das begründet, dass daraus x=y folgt. Zu Hyperbelfunktionen haben wir auch keinerlei Eigenschaften in der Vorlesung gezeigt.

04.01.2015, 00:00

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RE: Zeigen, dass Abbildung bijektiv ist
Ohne Eigenschaften der Hyperbelfunktionen zu verwenden, sehe ich nicht, wie man die Aufgabe mit vernünftigem Aufwand lösen soll.
Im ersten Schritt würde man sich jetzt z.B. auf die Injektivität des sinh berufen.
Die kann man natürlich durch ableiten und Verwendung von cosh(t)>0 begründen - aber das müssten man dann eben auch noch tun.

Vielleicht sieht jemand eine andere Lösung.

04.01.2015, 00:22

qwertz235

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Ok danke trotzdem. Aber angenommen, die Bijektivität wäre gezeigt, dann verstehe ich trotzdem nicht, wie und wo man die Menge einbezieht. Und wie wäre der Ansatz, um die Surjektivität zu zeigen?

04.01.2015, 00:30

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Um die Surjektivität zu zeigen, musst du natürlich die Definition von M benutzen.
Man nimmt ein beliebiges $\begin{eqnarray*} w\in M \end{eqnarray*}$ , begründet mit der Bijektivität von von sinh, dass es genau ein $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sinh(t)=Im(w) \end{eqnarray*}$ gibt und zeigt dann, dass $\begin{eqnarray*} f(t)=w \end{eqnarray*}$ gilt.

04.01.2015, 02:18

DrMath

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Zitat:

Original von qwertz235
Ok danke trotzdem. Aber angenommen, die Bijektivität wäre gezeigt, dann verstehe ich trotzdem nicht, wie und wo man die Menge einbezieht. Und wie wäre der Ansatz, um die Surjektivität zu zeigen?

Z.B. komplexe Zahlen mit Re(z) < 0 kannst du mit dem Realteil cosh(x), $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ja nicht erreichen.

05.01.2015, 15:00

qwertz235

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Besten Dank, damit habe ich es verstanden.
LG

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