Folge abschätzen mithilfe der Bernoulli Ungleichung

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muff-in Auf diesen Beitrag antworten »
Folge abschätzen mithilfe der Bernoulli Ungleichung
Es geht um diese Folge



Der Quotient wird betrachtet und durch elementare Unformungen in umgeformt.

Dann steht im Text weiter:

"Nun verwenden wir die Bernoulli-Unglichung mit und erhalten die Abschätzung
.

Es ist stets d.h. die Folge ist monoton wachsend."

Und genau da bräuchte ich Hilfe.
Ich verstehe wirklich überhaupt nicht, wie der Autor von der Folge + der Bernoulli Ungleichung
auf diesen Term gekommen ist. verwirrt Also was seine Gedankenschritte waren.

Die Bernoulli Ungleichung lautet ja

.

Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.

Danke im Vorraus!
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RE: Folge abschätzen mithilfe der Bernoulli Ungleichung
Steht doch alles da verwirrt
Zitat:
Bernoulli-Unglichung mit


wirft man noch einen Blick auf
Zitat:




ist auch klar, welchen Exponenten man nehmen muss.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, also ich verstehe es wirklich nicht. Wenn ich in die Bernoulli Ungleichung einsetze kommt ja raus. Und jetzt? Wie muss ich das denn jetzt umformen um auf zu kommen?
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schau dir nochmal an, was ich geschrieben habe.
Beides.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich sehs wirklich nicht. traurig
Ich verstehe auch nicht so richtig, wie das mit dem Abschätzen funktioniert. Wo sind die exponenten im abgeschätzten Term? Und woher kommt dieses (n+1) her??
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Ich gehe mal davon aus, dass du das noch verstanden hast


Jetzt hält man sich an die Anweisung und setzt und bekommt

Jetzt abschätzen mit Bernoulli, nur eben mit Exponent n+1 statt n und dann das Ergebnis in die erste Gleichung einsetzen.
 
 
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also so habe ichs bis jetzt verstanden:

Das hier ist der Term


Und das die Bernoulli Ungleichung

Jetzt wird für n und für h gesetzt und dann ergibt sich



Beide seiten der Ungleichung werden mit multipliziert, dann ergibt sich



Und die linke Seite der Gleichung ist ja gerade .
Deswegen gilt



Und warum ist das Ganze jetzt gleich eins? (Liegt es daran, dass n unendlich groß wird?) Und wie kann man dann auf die Monotonie schließen?
Und warum darf man die Ungleichung mit multiplizieren, wenn es negativ sein könnte?
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Der Ausdruck
ist gleich 1. Du hast am Schluss einmal zu viel abgeschätzt.
Wie sollte denn negativ sein?
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Ausdruck ist gleich 1. Du hast am Schluss einmal zu viel abgeschätzt.


Wie kann man denn zu viel Abschätzen? Ich hab nur die Klammern ausmultipliziert.. Darf man das nicht?
Ich verstehe immer noch nicht warum das Eins ist.. Wenn n unendlich groß ist kommt doch null raus verwirrt

Zitat:
Wie sollte denn negativ sein?


Wenn n negativ ist? Oder geht das nicht weil eine Folge auf den natürlichen Zahlen definiert ist?
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Du hast hier

im ersten Schritt ausmultipliziert (was übrigens nicht geschickt ist) und danach einmal zu viel abgeschätzt. Das zweite ist nicht falsch - der mittlere Teil ist ja gleich 1 - aber sie führt zu einem Ergebnis, das dir für die Monotoniebetrachtung nichts mehr nützt. Die rechte Seite ist nicht mehr 1, da hast du schon recht.


Genau, hier ist
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay. Wegen 1*1 ist die Gleichung dann



Und dann bringt man auf die andere Seite und hat dann die Monotonie gezeigt?

Da
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Woher du das 1*1 bringst, ist mir unklar. Der Rest ist richtig.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ist gleich 1


Wenn n gegen unendlich geht bleibt doch nur 1*1 übrig?
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Ich sagte, das Produkt sei gleich Eins. Wie wäre es, wenn du das einfach mal nachrechnest - ganz ohne Grenzwert.

Im Übrigen folgt aus einer Ungleichung der Art und nicht unbedingt für alle .
Du hattest also einfach Glück, dass es hier stimmt
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