x^x am Nullpunkt nicht differenzierbar

04.01.2015, 10:33	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
x^x am Nullpunkt nicht differenzierbar Warum ist $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} x^x, & \mbox{für } x>0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases} \end{eqnarray}$ im Nullpunkt nicht differenzierbar? Ich schaue mir den Differenzenquotient an: Für eine beliebige Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}_{+}\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ die gegen 0 konvergiert. $\begin{eqnarray} \frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}=\frac{x_n^{x_n}-1}{x_n}=\frac{exp(x_n log(x_n))-1}{x_n} \end{eqnarray}$ Nun komme ich beim Grenzwertübergang nicht weiter. Ich dachte $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0,x\not=0}\frac{e^x-1}{x}=1 \end{eqnarray}$ ist hilfreich aber ich bin damit nicht weitergekommen.
04.01.2015, 10:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist doch gut. Erweitere deinen Differenzenquotienten mit $\begin{eqnarray} log(x_n) \end{eqnarray}$
04.01.2015, 12:26	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hatte ich auch schon gemacht, aber ich war dann am Punkt $\begin{eqnarray} \infty1 \end{eqnarray*}$ und ich darf ja mit Unendlich nicht so rechnen, wie als wäre es eine normale Zahl und hab das wieder verworfen.
04.01.2015, 12:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann warst du voreilig. Entscheidend ist hier, dass der konvergente Faktor eben nicht gegen Null konvergiert.

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