Vereinigung disjunkter Intervalle

04.01.2015, 11:58	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung disjunkter Intervalle Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe eine kurze typologische Frage. Ich betrachte den Raum $\begin{eqnarray} X = [0,1] \cup [3,4] \end{eqnarray}$ versehen mit der euklidischen Topologie. Meine Ideen: Nun frage ich mich, wie hier offene Umgebungen von zum Beispiel 3 aussehen. Ist $\begin{eqnarray} [3,4] \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung von 3? Irgendwie verwirren mich die abgeschlossenen Grenzen. Danke für die Hilfe
04.01.2015, 12:12	Martin_funk_Ana	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, [3,4] ist eine offene Menge, da 3 ein innerer Punkt dieser Menge ist. Nehme beispielsweise eine Ball mit Radius 1/2. Dieser Ball geschnitten mit X (Defintion der Relativtopologie) liegt dann ganz in der Menge.
04.01.2015, 12:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, das mit dem Schnitt des Balls mit der Menge X macht es klar
04.01.2015, 12:19	Martin_funk_Ana	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe: Wikipedia -> Teilraumtopologie Noch etwas besser. Sei $\begin{eqnarray} x\in[3,4] \end{eqnarray}$ beliebig. Dann ist die Umgebung von x: $\begin{eqnarray} U_x=B(x,\frac 12 )\cap X \subset [3,4] \end{eqnarray}$ und nach Defintion der Teilraumtopologie offen. Damit ist [3,4] offen. Offensichtlich gilt auch $\begin{eqnarray} 3\in[3,4] \end{eqnarray}$ womit [3,4] eine offene Umgebung von 3 ist.

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