Gruppe, Untergruppe, Teiler zu zeigen

04.01.2015, 14:29

szanne

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Gruppe, Untergruppe, Teiler zu zeigen

Meine Frage:
Ich bin gerade dabei mich für unsere anstehende Klausur vorzubereiten und hänge an einer Übungsaufgabe:

Sei G:= (Z/nZ, +) und sei U c G eine Untergruppe. Sei d die kleinste positive ganze Zahl, für die [d] e U gilt.
Zeigen Sie:
1) d ist ein Teiler von n.
2) [d] erzeugt U.

Meine Ideen:
Also, ich habe die Informationen, die gegeben sind, soweit verstanden. Außerdem ist mir klar, dass die Menge U ja aus den Restklassen von d besteht, wobei d ja die kleinste positive ganze Zahl ist und da U ja Untergruppe von G ist und G aus den Restklassen von n besteht, verstehe ich schon, dass d ein Teiler von n sein kann. Allerdings verstehe ich nicht genau, wie ich das beweisen soll. Mir fehlt noch der "Aha"-Effekt und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Mir geht es vor allem darum es richtig zu verstehen.
bei 2) geht es mir genauso..ich verstehe es und finde es logisch, aber habe keinen blassen Schimmer für einen Beweis..
Ich bitte um Hilfe..bin erst im ersten Semester.

04.01.2015, 14:38

bijektion

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Zitat:

verstehe ich schon, dass d ein Teiler von n sein kann

1) Kann? Muss! Die Gruppen sind zyklisch und es gilt der Satz von Lagrange.
2) Hier musst du nur wissen, dass Untergruppen zyklischer Gruppen zyklisch sind.

04.01.2015, 14:50

szanne

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hmm..okay, das wusste ich nicht, da wir diesen Satz noch nicht in der Vorlesung hatten. Dementsprechend darf ich ihn auch nicht benutzen.

04.01.2015, 14:58

bijektion

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Welchen Satz?

04.01.2015, 15:00

szanne

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den Satz von Lagrange

04.01.2015, 15:09

bijektion

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Okay. Was passiert denn, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist?

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04.01.2015, 15:12

szanne

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ja dann muss d=n sein oder d=1 um ein Teiler von n zu sein

04.01.2015, 15:22

bijektion

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Richtig, dann gibt es auch nur die trivialen Untergruppen.

Wenn nun $\begin{eqnarray*} |[d]\in U \end{eqnarray*}$ , dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} [d]+[d]\in U \end{eqnarray*}$ usw., wenn $\begin{eqnarray*} U\leq \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , dann muss doch $\begin{eqnarray*} |U|\leq n \end{eqnarray*}$ gelten.
Damit hat $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ endliche Ordnung.
Welches Element muss mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen?

04.01.2015, 15:28

szanne

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okay, das versteh ich, aber welches Element versteh ich wieder nicht..oder meinst du 1?

04.01.2015, 15:31

bijektion

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Die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ muss doch drin sein, also das neutrale Element.

04.01.2015, 15:33

szanne

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achso, weil es ja eine Gruppe ist, richtig?

04.01.2015, 15:35

bijektion

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Ja, genau.

04.01.2015, 15:37

szanne

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und was bringt mir das jetzt? verwirrt

verwirrt

ich verstehe die Zusammenhänge nicht

04.01.2015, 15:46

bijektion

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Wir haben jetzt schon folgendes:

1) Die Gruppe hat weniger als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Elemente, zumindest wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist.
2) Es ist immer $\begin{eqnarray*} [d]+\dots+[d]\in U \end{eqnarray*}$ , egal wie oft du addierst.
3) $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$ .

Alles zusammen genommen muss es also irgendeine Zahl $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} m \cdot [d] =0 \end{eqnarray*}$ gilt.

(Ich definiere $\begin{eqnarray*} m\cdot g =\underbrace{g+\dots+g}_{\substack{m\text{-mal}}} \end{eqnarray*}$ )

05.01.2015, 10:22

szanne

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Tut mir leid, wenn ich so doof frage, aber mir ist es einfach nicht ganz klar. Wieso muss es diese Zahl m geben?

05.01.2015, 13:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von szanne Wieso muss es diese Zahl m geben?

Annahme: Es gibt keine solche Zahl m. Da die Gruppe endlich ist, gibt es auf alle Fälle zwei Zahlen k,n, o.B.d.A. k < n mit $\begin{align*} k[d]=n[d]\Rightarrow 0=(n-k)[d] \end{align*}$ . Widerspruch zur Annahme. Eine Lösung für m wäre also m=n-k.

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