1D Wellengleichung mit Rand- und Anfangsbedingungen

04.01.2015, 15:27	deislersim	Auf diesen Beitrag antworten »
1D Wellengleichung mit Rand- und Anfangsbedingungen Meine Frage: Hallo, ich soll für $\begin{eqnarray} x \in [0,l] \end{eqnarray}$ nach der Methode von Fourier die Lsg der homogenen 1D Wellenglg. berechnen: $\begin{eqnarray} u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0 \end{eqnarray}$ Separationsansatz: u(x,t) = X(x) T(t). (Zwischenschritte gespart, weil sie richtig sind (steht in unserem Skript)) Mit Anwendung der Randbedingungen komme ich letztendlich auf: $\begin{eqnarray} u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac{ n \pi x }{l}) (A_n cos(\frac{n \pi c t}{l}) + B_n sin(\frac{n\pi c t}{l})) \end{eqnarray}$ Bis hier hin ist ja alles uninteressant und leicht nachzurechnen. Aber jetzt muss ich die Anfangsbedingungen einsetzen: $\begin{eqnarray} u(x,0) = 3 sin(\frac{\pi x}{l}) - sin(\frac{3 \pi x}{l}) = \phi(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_t (x,0) = 0 = \psi(x) \end{eqnarray}$ Ok. Im Skript steht zudem, dass man $\begin{eqnarray} A_n , B_n \end{eqnarray}$ wie folgt finden kann (entspr. fourier koeff.): $\begin{eqnarray} A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n \pi x}{l}) dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_n = \frac{2}{n \pi c} \int_0^l \psi(x) sin(\frac{n \pi x}{l}) dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ok. Bis hierher muss alles stimmen, weil es so im Skript steht. Ich muss ja, um die Koeffizienten zu berechnen, nur noch die Integrale auswerten: Es ergibt sich für $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ trivialerweise einfach 0. weil $\begin{eqnarray} \psi(x) = 0 \end{eqnarray}$ und das Integral somit 0 wird. Leider kommt bei mir für $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ auch 0 raus bzw. : $\begin{eqnarray} A_n = \frac{24 l sin(n \pi )}{(9-10n^2 + n^4)\pi} \end{eqnarray}$ Oder heißt das, ich muss die n's finden, für die : $\begin{eqnarray} 9-10n^2 + n^4 \neq 0 \end{eqnarray}$ ist? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte LG
04.01.2015, 15:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1D Wellengleichung mit Rand- und Anfangsbedingungen Da braucht's keine Integrale. Setze in deinem $\begin{eqnarray} u(x,t) \end{eqnarray}$ mal t=0 und vergleiche das anschließend mit $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ .
04.01.2015, 16:12	deislersim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} A_n sin(\frac{n\pi x}{l} )= 3 sin(\frac{\pi x}{l}) - sin(\frac{3\pi x}{l} ) \end{eqnarray}$ d.h. einfach, dass das für n=1 A_n = 3 ist und für n=3 A_n = -1 oder? Somit habe ich die LSg gefunden. wenn das stimmt, vielen Dank!!

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