Simplexverfahren

04.01.2015, 16:46

Romaxx

Simplexverfahren

Hallo miteinander,

folgende Aufgabe:

Sei eine Abbildung g und die Matrix M gegeben durch

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^3\times \mathbb R\to\mathbb R, (x,\lambda)\mapsto\lambda, x\in\mathbb R^3, \lambda \in\mathbb R, M=\begin{pmatrix} 0,1 & 1 & 1 \\1 & 0,2 & 0,9 \\ 1 & 0,9 & 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Betrachten Sie die Optimierungsaufgabe, das Maximum von g unter den Nebenbedingungen

$\begin{eqnarray*} \lambda\leq 0,x\leq 0, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\leq Mx \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

(a) Schreiben Sie das Problem in eine lineare Optmierungsaufgabe in Normalform um.

Normalform:

$\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix}\lambda \\ \lambda \\ \lambda \\ 1 \end{pmatrix} , A = \begin{pmatrix} 0,1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\1 & 0,2 & 0,9 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0,9 & 0,4 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(b) Schreiben Sie in Matlab ein Programm, welches die Optimierungsaufgabe numerisch löst, indem Sie das Verfahren in Bemerkung 3.9 implementieren.

(Bemerkung: Alle Ecken des zulässigen Bereichs sind Kandidaten für das Minimum. Da es nur endlich viele Ecken gibt und diese daraus enstehen, dass $\begin{eqnarray*} A_I \hat x = b \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung besitzt und $\begin{eqnarray*} \hat x>0 \end{eqnarray*}$ , brauchen nur alle Ecken berechnet und in das zu minimierende Zielfunktional eingesetzt und verglichen werden. ( I ist die Indexmenge 1,.., n, welche für die Spalten bzw. Einträge von x steht, die betrachtet werden). )

Bei dieser Aufgabe frage ich mich, wie ich mit Matlab $\begin{eqnarray*} x=A^{-1} b \end{eqnarray*}$ berechnen soll, da b wiederum von Lambda abhängt. Irgendwelche Ideen? Passt das bisher?

11.02.2015, 12:27

antispamer

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wie wärs wenn du lambda in die matrix schiebst und als weitere variable in den x-Vektor einfügst?

16.02.2015, 11:03

Math1986

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RE: Simplexverfahren

Zitat:

Original von Romaxx
Bei dieser Aufgabe frage ich mich, wie ich mit Matlab $\begin{eqnarray*} x=A^{-1} b \end{eqnarray*}$ berechnen soll, da b wiederum von Lambda abhängt. Irgendwelche Ideen? Passt das bisher?

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ soll ein fest einstellbarer Parameter sein, der irgendwo in einer Variablen definiert ist und so geändert werden kann.

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