Funktionen auf Monotonie und Extremwerte untersuchen

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04.01.2015, 22:50	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen auf Monotonie und Extremwerte untersuchen Ich habe die Aufgabe : Bestimmen Sie die Extremwerte und das Monotonieverhalten der Funktionen: $\begin{eqnarray} f: [0,3[ \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x-2}{(3-x)^2} \end{eqnarray}$ Als erstes wollte ich die Funktion auf Extrempunkte untersuchen. ich habe zunächst die erste Ableitung gebiltet. $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{2 \cdot (3-x) \cdot (x-2) + (3-x)^2 }{ ((3-x)^2)^2} \end{eqnarray}$ Dann habe ich gedacht ein Bruch wird null, wenn Zähler = 0 und Nenner ungleich null. Da x ungleich 3 wird der Nenner nie null. Also muss der Zähler null gesetz werden Da habe ich das Problem das ich die Gleichung Zähler = 0 eine leere Lösungsmenge hat. Ich brauche schnelle Hilfe da ich die Lösung morgen abgeben muss
04.01.2015, 23:02	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Zählerterm gleich null setzt, dann entsteht in der Tat eine Lösung. Es empfiehlt sich hier auch im Zähler (3-x) auszuklammern, um dann schon mal zu kürzen. Du kannst ja mal deinen Rechenweg posten, dann kann man ja sehen, wo der Fehler passiert ist.
04.01.2015, 23:07	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
ok mit deinem Tipp habe ich jetzt $\begin{eqnarray} \frac { 2 \cdot (x-2) + 3 -x } { 3- x} \end{eqnarray}$ und damit x = 1 was muss ich jetzt tun?
04.01.2015, 23:08	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht gut aus. Naja was würdest du denn sonst immer tun, wenn es darum geht, Extremwerte zu bestimmen ?
04.01.2015, 23:10	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
zweite Ableitung untersuchen?
04.01.2015, 23:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
KANN man machen (wobei untersuchen eher das falsche Wort ist, denn man setzt da ja etwas ein). Hier würde ich allerdings eher das so genannte Vorzeichenwechselkriterium benutzen. Ist dir das bekannt ? Dafür brauchst du nämlich die 2. Ableitung gar nicht, für die du ja wiederum erstmal die Quotientenregel benutzen kannst. Mit der Vorzeichenwechselmethode setzt du einfach links und rechts von deiner Extremstelle x=1 einen Wert in die 1. Ableitung ein und untersuchst damit wie das Steigungsverhalten links und rechts vonx=1 ist, wodurch das Monotonieverhalten auch schon direkt erledigt wäre. Bedenke allerdings, dass du im gegebenen Definitionsbereich bleibst.
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04.01.2015, 23:29	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe jetzt f'(0) = -1/3 und f'(2) = 1 und somit einen Wechsel von - nach + => mit Vorzeichenkriterium das bei x = 1 ein Tiefpunkt liegt
04.01.2015, 23:32	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Wie lauten damit die damit vorliegenden Monotonie-, also die Steigungsintervalle ?
04.01.2015, 23:37	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
monoton fallend von [0,1) und monoton steigend von (1,3[ Wie sollte man die Lösung formulieren damit Sie akademischen "Beweis"-Niveau genügt?
04.01.2015, 23:43	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht mit welchen Mitteln ihr die Aufgabe lösen sollt /dürft. Ich sehe jedoch nicht, was an deiner Lösung noch fehlen sollte.
04.01.2015, 23:45	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen Dank, ist ja nicht selbstverständlich Sonntags um viertel vor zwölf noch Hilfe in Mathe zu kriegen . Allerdings habe ich noch eine zweite Teilaufgabe oben stand ja auch Funktionen . Kannst du mir dabei auch noch helfen?
04.01.2015, 23:47	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, kannst die andere Funktion bzw deinen Lösungsweg gerne posten.
04.01.2015, 23:48	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = (3+4(x-1)^2)e^{-x^2} \end{eqnarray}$ Hinweis Berechnen Sie g'(-1/2)
04.01.2015, 23:55	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind deine Fragen dazu ? So sieht der Graph jedenfalls aus:
04.01.2015, 23:56	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es macht warscheinlich Sinn dem Hinweis zu folge und erstmal die Ableitung zu berechnen und dann -1/2 in die Ableitung einzusetzen oder?
05.01.2015, 00:03	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
ne andere Idee war jetzt die Ableitung berechnen, dann die Ableitung gleich null setzten, da steht dann ja $\begin{eqnarray} 0 = -2 \cdot e^{-x^2} \cdot (4x^3-8x^2+3x+4) \end{eqnarray}$ das Produkt wird null wenn das Polynom null wird und dann müsste man ja jetzt Polynomdivision machen um die Nullstellen zu bestimmen
05.01.2015, 00:07	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab deine Ableitung jetzt nicht geprüft, jedenfalls gilt für deinen Ableitungsterm (wie der Graph es ja vermuten lässt) g'(-1/2)=0. Von Hand wäre in der Tat eine Faktorisierung mit Hilfe einer Polynomdivision möglich, also (4x³-8x²+3x+4) : (x+0,5)=...
05.01.2015, 00:10	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann wieder mit Vorzeichenwechselkriterium überprüfen? Hat sich damit die Monotonie auch wieder geklärt?
05.01.2015, 00:13	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, kann man auch hier wieder so machen. Du wirst nämlich auch wieder nur genau eine Extremstelle, nämlich die in x=-1/2, erhalten. Übrigens ist mir noch eingefallen, dass du bei der anderen Funktion und auch hier am Ende nochmal hinschreiben solltest, was hier genau der maximale oder minimale y-Wert ist.
05.01.2015, 00:15	mathemeerschwein	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. Ich glaube ich gehe jetzt schlafen, weil ich langsam doch zu müde bin versuche das dann morgen noch fertig zu kriegen. danke auf jeden Fall!!!
05.01.2015, 00:16	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gute Nacht und viel Erfolg weiterhin.
05.01.2015, 20:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Aufgabe müsste man noch über Randextrema reden

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