Funktionen definition injektiv

05.01.2015, 00:28	Mr.0Plan	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen definition injektiv Meine Frage: Kann mir jemand erklären warum bei der definition injektiv steht $\begin{eqnarray} f(a1) = f(a2) \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f(a1) \neq f(a2) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} f(a1) = f(a2) \end{eqnarray}$ bedeutet für mich soviel wie, dass das erste Element aus dem Definitionsbereich gleich dme zweiten aus dem Definitionsbereich ist. Aber bei injektiven Funktionen geht es doch genau darum, dass jedes Eingangselement durch die Funktion verändert wird. Ich stelle mir dann automatisch ein Element mit zwei Pfeilen vor (siehe Anhang) was, dann gar keine Funktion mehr wäre.
05.01.2015, 01:22	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionen definition injektiv $\begin{align} f(a_1)=f(a_2) \end{align}$ bedeutet, dass $\begin{align} a_1,a_2 \end{align}$ auf denselben Wert abgebildet werden. Daraus wird dann schlussgefolgert, dass $\begin{align} a_1=a_2 \end{align}$ . Dies bedeutet Injektivität der Funktion $\begin{align} f \end{align}$ , da damit die Möglichkeit $\begin{align} a_1\not=a_2 \end{align}$ ausgeschlossen wurde.
05.01.2015, 01:27	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gleichsetzen von f(a1) und f(a2) macht man deshalb, um zu prüfen, wann genau diese Gleichheit gilt, also was genau erfüllt sein muss, damit die Funktionwerte (Bilder) zweier Elemente aus dem Definitionsbereich (Urbilder) identisch sind. Hier folgt, wenn man die Gleichung umformt, dass a1=a2 gelten muss und damit, dass hier nur identische Urbilder auch dasselbe Bild haben können (das bedeutet injektiv) und eben nicht, dass es möglich ist, dass mehrere Urbilder dasselbe Bild haben (dann wäre die Funktion nicht injektiv, typisches Beispiel f(x)=x² für f: IR ---> IR). Beachte ebenso, dass allgemein bei einer Funktion verschiedene Urbilder in der Tat dasselbe Bild haben dürfen. Was bei einer Funktion, also einer eindeutigen Zuordnung, nur nicht erlaubt ist, wäre, wenn es für ein Urbild mehrer Bilder gäbe (also wenn ein Element aus dem Definitionsbereich mehreren Elementen des Zielbereichs zugeordnet wird).
05.01.2015, 10:29	Mr.0Plan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt schimmerts durch :-)

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