Stetigkeit von Funktionen mit Fallunterscheidung

05.01.2015, 01:50

Abomastur

Stetigkeit von Funktionen mit Fallunterscheidung

Hallo,
ich soll herausfinden, in welchen Punkten ihres Definitionsbereichs die folgenden Funktionen stetig sind:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^3-3x+2\text{, }&\text{wenn }x\in\mathbb Q\text{,}\\ x^3+x^2+4\text{, }&\text{wenn }x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\text{.} \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:\left[0;1\right]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{cases} 1\text{, }&\text{wenn }x=0{,}\\ \frac{1}{q}\text{, }&\text{wenn }x=\frac{p}{q}\in\mathbb Q\setminus\left\lbrace0\right\rbrace\text{ und }\mathrm{ggT}\left(p,q\right)=1{,}\\ 0\text{, }&\text{wenn }x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\text{.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Auf Wikipedia (de.wikipedia.org/wiki/Thomaesche_Funktion#Definition) habe ich nachgelesen, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ stetig in allen irrationalen und unstetig in allen rationalen Punkten ist und auch die Beweisidee verstanden. Wie drücke ich das nun formeltechnisch aus (insbesondere die Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ "nahe genug" an 0 liegt, selbst wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ rational ist, weil dann $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sehr groß ist (woher weiß man das?), macht mich skeptisch)?.
Kann ich diesen Beweis dann auf a. übertragen? Also stetig in allen irrationalen, unstetig in allen rationalen Punkten?

05.01.2015, 09:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Abomastur
Wie drücke ich das nun formeltechnisch aus (insbesondere die Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ "nahe genug" an 0 liegt, selbst wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ rational ist, weil dann $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sehr groß ist (woher weiß man das?)

Nehmen wir irgendein irrationales $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , dann gibt es für jedes $\begin{align*} n\in\mathbb{N} \end{align*}$ eine ganze Zahl $\begin{align*} p \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{p}{n!} < x_0 < \frac{p+1}{n!} \end{align*}$ .

Nun wähle man $\begin{align*} \delta = \min\{x_0-\frac{p}{n!},\frac{p+1}{n!}-x_0\} \end{align*}$ , dann liegt das gesamte Intervall $\begin{align*} (x_0-\delta,x_0+\delta) \end{align*}$ vollständig im Intervall $\begin{align*} \left( \frac{p}{n!}, \frac{p+1}{n!} \right) \end{align*}$ . Alle rationalen Zahlen in letzterem Intervall haben aber einen Nenner, der größer als $\begin{align*} n \end{align*}$ sein muss.

Zitat:

Original von Abomastur
Kann ich diesen Beweis dann auf a. übertragen? Also stetig in allen irrationalen, unstetig in allen rationalen Punkten?

Nein, das stimmt dort nicht. Überprüfe, für welche $\begin{align*} x \end{align*}$ die beiden definierenden Terme $\begin{align*} x^3-3x+2 \end{align*}$ und $\begin{align*} x^3+x^2+4 \end{align*}$ gleich sind. Das (und nur die!!!) sind die Stetigkeitsstellen von $\begin{align*} f \end{align*}$ - warum?

05.01.2015, 18:26

Abomastur

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Erstmal danke für die Hilfe zu b. Wie kommst du auf die Idee, $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ für den Nenner zu benutzen und darauf, dass alle Brüche im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[\frac{p}{n!},\frac{p+1}{n!}\right] \end{eqnarray*}$ einen Nenner größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben? Was ist z. B., wenn $\begin{eqnarray*} p\mid n! \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n!\mid p \end{eqnarray*}$ ? Dann hätte der linke Bruch einen Nenner kleiner als $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ bzw. einen Nenner von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Kann man dann diese Folgerung noch ziehen?
Der Beweis, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ in allen rationalen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unstetig ist, fällt mir auch irgendwie schwer, insbesondere, zu zeigen, dass es in jeder $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine irrationale Zahl gibt.

Zu a.: Schnittpunkte liegen bei $\begin{eqnarray*} x^3-3x+2=x^3+x^2+4\Rightarrow x^2+3x+2=0\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow x_1=-2, x_2=-1 \end{eqnarray*}$ . Dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in diesen Punkten stetig ist, kann man mit dem Limeskriterium zeigen, denn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to-2}x^3-3x+2=\lim\limits_{x\to-2}x^3+x^2+4=f(x) \end{eqnarray*}$ , das gleiche für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ . Nur wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in allen anderen Punkten unstetig ist? Geht das auch mit dem Limeskriterium, also die Funktion ist unstetig, weil die Limites nicht übereinstimmen?
Danke schonmal!

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