Volumen-Integral Einheitsdreieck

05.01.2015, 13:15	willi1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen-Integral Einheitsdreieck Hallo ihr Lieben, frohes neues jahr, ich habe eine Frage -.- Ich Arbeite gerade an Fluss-Berechnungen durch Körper und Flächen. Ich bin auf folgendes Problem gestoßen (siehe anhang, bilder ((ich weiss nicht wie ich ein 3fach-integral in dem formeleditor schreibe))) div v ist einfach zu berechnen, man darf annehmen dass x+y+z richtig ist. Ich weiß 2 sachen nicht: 1. Warum kann man x+y+z dV zu 3x dV vereinfachen? 2. Warum gehen die Grenzen 0->1, 0->1-x, 0->1-x-y und nicht 0->1, 0->(1-x), 0->(1-y) ich hoffe ich habe die Frage verständlich formuliert. Ich freue mich auf antworten. Liebe Grüße Willi [attach]36667[/attach] [attach]36669[/attach] [attach]36668[/attach]
05.01.2015, 14:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1.Der Körper $\begin{align} T \end{align}$ ist symmetrisch bzgl. jeder Vertauschung (Permutation) der drei Koordinaten $\begin{align} x,y,z \end{align}$ . Insofern ist z.B. $\begin{align} \iiint\limits_T f(x,y,z) ~ \dd V = \iiint\limits_T f(y,z,x) ~ \dd V = \iiint\limits_T f(z,x,y) ~ \dd V \end{align}$ von vornherein klar (es gäbe noch drei weitere Permutationen, aber die lasse ich mal hier weg). Wählt man da speziell $\begin{align} f(x,y,z)=x \end{align}$ , so folgt mit $\begin{align} \dd V = \dd z ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ $\begin{align} \iiint\limits_T x ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x = \iiint\limits_T y ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x = \iiint\limits_T z ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ , weswegen man auch gleich $\begin{align} \iiint\limits_T (x+y+z) ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x = 3\iiint\limits_T x ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ schreiben kann. 2. Körper $\begin{align} T \end{align}$ (ein Tetraeder) ist der Durchschnitt von vier Halbräumen: $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ $\begin{align} y\geq 0 \end{align}$ $\begin{align} z\geq 0 \end{align}$ $\begin{align} x+y+z\leq 1 \end{align}$ $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ steht ja schon da, und aus $\begin{align} x+y+z\leq 1 \end{align}$ ergibt sich unter Nutzung von $\begin{align} y\geq 0,z\geq 0 \end{align}$ dann schließlich $\begin{align} x\leq 1 \end{align}$ . Damit läuft die äußere $\begin{align} x \end{align}$ -Integration von 0 bis 1, für festes $\begin{align} x \end{align}$ haben wir dann $\begin{align} y+z\leq 1-x \end{align}$ . Nun zur mittleren $\begin{align} y \end{align}$ -Integration. $\begin{align} y\geq 0 \end{align}$ ist klar, und aus dem schon genannten $\begin{align} y+z\leq 1-x \end{align}$ folgt mit $\begin{align} z\geq 0 \end{align}$ dann $\begin{align} y\leq 1-x \end{align}$ , demnach läuft die $\begin{align} y \end{align}$ -Integration von $\begin{align} 0 \end{align}$ bis $\begin{align} 1-x \end{align}$ . Für festes $\begin{align} x,y \end{align}$ haben wir nun $\begin{align} z\leq 1-x-y \end{align}$ . Was dann auch die innerste $\begin{align} z \end{align}$ -Integration von 0 bis $\begin{align} 1-x-y \end{align}$ erklärt.

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