Beispiel bijektive Abbildung soll nicht abelsch (kommutativ) sein

05.01.2015, 15:14	alsatol	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel bijektive Abbildung soll nicht abelsch (kommutativ) sein Meine Frage: Hallo zusammen! Ich stecke gerade bei einer Übungsaufgabe fest und komme nicht weiter. Mit dem Lösungsweg den ich bereits vom Professor besitze verstehe ich nur zum Teil, bzw. ich kann mir dem Lösungsweg nicht selber erschließen. Könnte mir jemand mir jemand von euch den Lösungsweg erläutern? Hier ist die Aufgabenstellung mit dem Lösungsweg. Sn := {f : {1, 2, ..., n} -> {1, 2, ..., n} \| f bijektiv } Sn sind also alle bijektiven Abbildung von {1, 2, ..., n} auf sich selbst. Wir wissen: (Sn, o) ist Gruppe mit n! Elementen! 1. Geben Sie ein Beispiel an, welches zeigt, dass nicht alle Gruppen (Sn, o) abelsch (kommutativ) sind. Lösungsweg: 1. Behauptung: (S3, o) ist nicht kommutativ (abelsch). Betrachte (z.b.) die beiden Elemente f, g element von S3: x \| 1 2 3 f(x) \| 1 3 2 g(x) \| 3 2 1 Dann x \| 1 2 3 fog(x) \| 2 3 1 gof(x) \| 3 2 1 Also: f o g /= g o f. S3, o) nicht abelsch! Meine Ideen: Ich weiß was eine abelsche Gruppe, bzw. eine kommutative Gruppe ist, aber ich weiß einfach nicht wie ich bei solch einer Aufgabe anfangen soll und mit dem Lösungsweg kann ich mir die Aufgabe selber nicht erschließen.
05.01.2015, 15:47	echnaton	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal: Zwei Permutationen werden miteinander verknüpft, indem man die erste Permutation anwendet und auf dieses Ergebnis dann die zweite Permutation. Mit dieser Verknüpfung bilden die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -stelligen Permutationen eine Gruppe ( $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ). Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Dazu reicht die Angabe eines Gegenbeispiels und genau das wird in der Musterlösung gemacht. Für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ ist die Gruppe abelsch, also versucht man es für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ . Dann findet man recht schnell ein Gegenbeispiel, wie angegeben. Die Ausführung der Verknüpfung erfolgt von "rechts nach links": Für $\begin{eqnarray} f \circ g \end{eqnarray}$ : Die 1 wird durch g auf die 3 abgebildet und diese wiederum durch f auf die 2. Die 2 wird durch g auf die 2 abgebildet und diese wiederum durch f auf die 3. Die 3 wird durch g auf die 1 abgebildet und diese wiederum durch f auf die 1. Das gleiche Spiel führt man bei $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ durch und stellt fest, dass $\begin{eqnarray} f \circ g \neq g \circ f \end{eqnarray}$ gilt.
05.01.2015, 16:43	alastol	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Durch deine Antwort ist mir im wahrsten Sinne des Wortes ein Licht aufgegangen! Vielen vielen Dank! :-)

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