Orthonormalbasis

05.01.2015, 14:32

zunder

Orthonormalbasis

Hallo, ich habe bei einer Aufgabe zwei Vektoren gegeben, die einen Unterraum aufspannen. Ich soll eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ brechnen. Die Orthonormalbasis hab ich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren berechnet. Wie kann ich mit diesen Vektoren die Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ finden? Danke.

05.01.2015, 14:48

klarsoweit

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RE: Orthonormalbasis
Prinzipiell brauchst du alle Vektoren, die auf der Basis von U senkrecht stehen. Stelle dazu ein passendes Gleichungssystem auf.

05.01.2015, 15:55

zunder

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Okay, in diesem Fall ist die Basis von U:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{0,4}}\begin{pmatrix} 0,4 \\ -0,2 \\ 0,4 \\ -0,2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich doch das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{2}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{2}{\sqrt{10}}\\ \frac{0,4}{\sqrt{0,4}} & \frac{-0,2}{\sqrt{0,4}} & \frac{0,4}{\sqrt{0,4}} & \frac{-0,2}{\sqrt{0,4}} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich doch die Basis $\begin{eqnarray*} w_1=\lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2= \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha,\lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

06.01.2015, 08:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von zunder
Dann hätte ich doch das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{2}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{2}{\sqrt{10}}\\ \frac{0,4}{\sqrt{0,4}} & \frac{-0,2}{\sqrt{0,4}} & \frac{0,4}{\sqrt{0,4}} & \frac{-0,2}{\sqrt{0,4}} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig muß es lauten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{2}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{2}{\sqrt{10}}\\ \frac{0,4}{\sqrt{0,4}} & \frac{-0,2}{\sqrt{0,4}} & \frac{0,4}{\sqrt{0,4}} & \frac{-0,2}{\sqrt{0,4}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von zunder
Dann habe ich doch die Basis $\begin{eqnarray*} w_1=\lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2= \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha,\lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn du noch die Parameter wegläßt, ist es ok. smile

06.01.2015, 10:07

zunder

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Ach so stimmt, danke. Ich weiß leider nicht, wie man hier eine Matrix mit deren Lösung schreibt (A|b).

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