Doppelte Betragsungleichung

05.01.2015, 18:54	mcks9911	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelte Betragsungleichung Meine Frage: Guten Abend Ich habe leider ein Problem mit Betragsungleichungen... Vorallem die folgende Aufgabe macht mir sehr zu schaffen! $\begin{eqnarray} \| \| x^2+4x-14 \| -(x+2)^2 \| \leq \| x-1 \| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich gehe Betragsungleichungen vom Prinzip folgendermaßen an: 1)Zuerst versuche ich die Ungleichung zu vereinfachen und schaue ob ich ggf. Beträge direkt wegfallen lassen kann 2)Dann löse Ich jeden Betrag nacheinander auf, indem Ich ihn positiv und negativ annehme (Dazu schaue Ich mir die Ns der Beträge an) 3)Ich mache eine Fallunterscheidung für jeden Betrag und fasse anschließend die Teillösungen zu einer Gesamtlösungsmenge zusammen! So das Problem hier ist allerdings, das mich "ein Betrag im Betrag" völlig aus dem Konzept bringt und ich leider keine Idee habe die Aufgabe zu lösen. Ich bin also an dem Schritt: $\begin{eqnarray} \|\| (x+2)^2-18 \| -(x+2)^2\| \leq \| x-1 \| \end{eqnarray}$ Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand einen Ratschlag geben könnte! Viele Grüße
05.01.2015, 22:31	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelte Betragsungleichung Ich würde erst mal zur Vereinfachung und wegen Schreibfaulheit transformieren $\begin{align} z:=x+2 \end{align}$ . Damit wird die UGl $\begin{align} \lvert\lvert z^2-18\rvert-z^2\rvert\le\lvert z-3\rvert \end{align}$ Ansonsten ist deine Vorgehensweise richtig. Du kannst folgende Fallunterscheidungen machen: A) $\begin{align} z^2<18 \end{align}$ . Dies führt zu den weiteren Fällen A1) $\begin{align} z^2<9 \end{align}$ A2) $\begin{align} z^2\ge 9\land z^2<18 \end{align}$ B) $\begin{align} z^2\ge 18 \end{align}$ C) $\begin{align} z< 3 \end{align}$ D) $\begin{align} z\ge 3 \end{align}$ Du musst natürlich immer gucken, ob sich gewisse Fälle nicht gegenseitig ausschließen, so wie A1) und D).
05.01.2015, 23:02	mcks9911	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort! Allerdings ist mir dein Vorgehen noch nicht ganz klar! Wie gehst du vor? Ich nummeriere die drei Beträge jetzt mal damit du weißt was Ich meine: 1: $\begin{eqnarray} \| \|z^2-18 \| -z^2 \| \end{eqnarray}$ 2: $\begin{eqnarray} \|z^2-18 \| \end{eqnarray}$ 3: $\begin{eqnarray} \|z-3 \| \end{eqnarray}$ Also das deine Fälle C&D aus Betrag 3 kommen ist mir klar, da es sich um einen normalen Betrag handelt kann ich das nachvollziehen! Allerdings schaffe Ich es nicht die weiteren Fälle selbständig aufzustellen! Ich frage mich jetzt welchen Betrag Ich mir zuerst anschauen sollte, bearbeitest du zuerst den inneren Betrag (Nr.2) und dann den äußeren(Nr.3)? Irgendwas begreife Ich da nicht ganz... Würde mich über weitere Hilfe sehr freuen! Viele Grüße
05.01.2015, 23:11	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde jetzt den Zahlenstrahl unterteilen in die Abschnitte zwischen den wichtigen Punkten, die Nullstellen eines Betrages sind, und dann jeden Abschnitt einzeln untersuchen. Dies führt dann u.U. zu weiteren Bedingungen, die z erfüllen muss. Der erste Abschnitt ist $\begin{align} z<-\sqrt{18} \end{align}$ , der zweite $\begin{align} -\sqrt{18}\le z < -3 \end{align}$ usw..

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