R-Linearität einer Funktion ohne Vorschrift

05.01.2015, 19:13

KonvergenteEnte

R-Linearität einer Funktion ohne Vorschrift

Meine Frage:
Moin Big Laugh

"Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Nehme an, dass $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear ist, genauer, $\begin{eqnarray*} f(x)=f(1)*x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ "

Meine Ideen:
Mir wurde bereits gesagt, ich solle es runterbrechen und anfangen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ -Linearität zu beweisen mithilfe von Induktion, dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Linearität, dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Linearität und dann mithilfe der Stetigkeit die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Linearität zeigen, auf diese Weise komme ich bloß bei dem Beweis der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Linearität nicht weiter, oder gibt es einen einfacheren Weg?

05.01.2015, 20:05

Mulder

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RE: R-Linearität einer Funktion ohne Vorschrift
Für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bist du durch, also dass $\begin{eqnarray*} f(z)=z \cdot f(1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, hast du gezeigt?

Tipp für den Beginn:

$\begin{eqnarray*} f(1) = f \left ( \underbrace{\frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n}}_{\text{n mal}} \right ) = ... \, ? \end{eqnarray*}$

Nutze das, was gegeben ist für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Danach betrachte $\begin{eqnarray*} f \left ( \frac{m}{n} \right ) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind.

PS: Ich könnte mir vorstellen, dass diese Aufgabe hier im Board auch schon mal behandelt worden ist. Meine, mich dunkel daran zu erinnern.

05.01.2015, 20:08

KonvergenteEnte

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Ja ich hoffe zumindest es ist richtig wie ich es gezeigt habe, und zwar mit $\begin{eqnarray*} -n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Ok danke werde es mal so versuchen wie du es gesagt hast Big Laugh

Und um Bezug auf deinen Hinweis zu nehmen:
$\begin{eqnarray*} f(1)=f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}...+\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$
Und könnte ich es dann bei:
$\begin{eqnarray*} f(\frac{m}{n}) = m*f(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$
So dass ich hier die $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$ nicht n-mal habe sondern m-mal? Oder bin ich auf der falschen Spur :c?

05.01.2015, 20:33

Mulder

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RE: R-Linearität einer Funktion ohne Vorschrift

Zitat:

Original von KonvergenteEnte
Und um Bezug auf deinen Hinweis zu nehmen:
$\begin{eqnarray*} f(1)=f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}...+\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Weiter geht's.

$\begin{eqnarray*} f(1)=f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}...+\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} ) = ... \, ? \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich geht's wohl in die richtige Richtung. Dann nach f(1/n) auflösen und dann bei dem, was du danach mit f(m/n) gemacht hast, einsetzen. Dann biste doch mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ fertig.

05.01.2015, 20:57

KonvergenteEnte

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RE: R-Linearität einer Funktion ohne Vorschrift
$\begin{eqnarray*} f(1)=f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}...+\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} ) = n*f(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
Und dann somit auf:
$\begin{eqnarray*} f(\frac{m}{n} )= f \left ( \underbrace{\frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n}}_{\text{m mal}} \right ) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} )= m*f(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
Wäre das so richtig? Oder müsste ich dann auch noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ rausziehen um dann $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n}*f(1) \end{eqnarray*}$ zu erhalten?

05.01.2015, 21:05

Mulder

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RE: R-Linearität einer Funktion ohne Vorschrift
Wie rausziehen?

Zitat:

Original von KonvergenteEnte
$\begin{eqnarray*} \color{red}f(1)\color{black}=f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}...+\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} ) = \color{red} n*f(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch

$\begin{eqnarray*} f ( \frac{1}{n} ) = \frac{1}{n} \cdot f(1) \end{eqnarray*}$

Und aus

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \color{red} f(\frac{m}{n} ) \color{black} = f \left ( \underbrace{\frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n}}_{\text{m mal}} \right ) = f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{1}{n} ) = \color{red}m*f(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

damit insgesamt

$\begin{eqnarray*} f( \frac{m}{n} ) = \frac{m}{n} \cdot f(1) \end{eqnarray*}$

Das war doch jetzt nur noch Zusammenfügen von bereits gefundenen Erkenntnissen.

05.01.2015, 21:35

KonvergenteEnte

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Ja das mit dem Rausziehen war unglücklich formuliert aber hat sich erledigt, vielen Dank Big Laugh

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