fragwürdige Konstantsetzung bei partiellen Ableitungen

05.01.2015, 21:56

Bananenbruno

fragwürdige Konstantsetzung bei partiellen Ableitungen

Hallo,

mir sind da ein, zwei Konstantsetzungen unklar in den Aufgabenteilen a), insbesondere zu b), von Übung 2 in www .itp.phys.ethz.ch/education/fs14/tdw/sol01

Diese PDF-Datei (Dateiname hinten ohne pdf, dafür URL vorne mit wewewe) braucht man normalerweise nicht, da ich alles wesentliche hier zitieren will. Es steht darin u. a.:

Zitat:

Die Variablen x, y und z seien verknüpft durch f(x, y, z)=0. [...] Zeige, dass
a) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} = (\frac{\partial y}{\partial x}|_{z})^{-1} \end{eqnarray*}$ ,
b) $\begin{eqnarray*} -1 = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} \frac{\partial z}{\partial x}|_{y} \end{eqnarray*}$ [...]

In der Musterlösung dazu steht:

Zitat:

Durch die Bedingung f(x, y, z)=0 wird die Anzahl Freiheitsgrade um eins reduziert und das Problem hängt nur noch von zwei unabhängigen Variablen ab. Wir können nun jede Variable als Funktion der anderen beiden Variablen schreiben, da diese durch f(x, y, z)=0 verknüpft sind, also x = x(y, z), y = y(x, z) und z = z(x, y). Für das totale Differential von x = x(y, z) finden wir
$\begin{eqnarray*} dx = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} dy + \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} dz \qquad \qquad \end{eqnarray*}$ (L.1),
das totale Differential von y = y(x, z) ergibt sich zu
$\begin{eqnarray*} dy = \frac{\partial y}{\partial x}|_{z} dx + \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} dz. \qquad \qquad \end{eqnarray*}$ (L.2)
Indem wir das Differential dy in Gleichung (L.1) durch dy aus Gleichung (L.2) ersetzen, erhalten wir die Gleichung
$\begin{eqnarray*} dx = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial x}|_{z} dx +( \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} + \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} )dz . \qquad \qquad \end{eqnarray*}$ (L.3)

Bis hierher ist alles nachvollziehbar. Jetzt kommt der für mich fragliche Teil:

Zitat:

Für konstantes z (dz=0) erhalten wir die Relation a),

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial x}|_{z} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} = (\frac{\partial y}{\partial x}|_{z})^{-1}. \qquad \qquad \end{eqnarray*}$ (L.4)

Unter der Annahme x = const. (dx=0) folgt sogleich b),
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} + \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. [...]

wobei wir im letzten Schritt Gleichung (L.4) benutzt haben.

Wenn ich (L.4) benutzen würde, dann ihre ebenfalls gültige Version $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} = (\frac{\partial z}{\partial x}|_{y})^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Langer Vorspann, relativ kurze Frage:
Den Grund für die Setzung von dz=0 für den Schritt "(L.3) ---> a)" mag ich noch einsehen, weil man ja auf beiden Seiten der Gleichung in a) sieht, dass z festgehalten werden soll. Aber mit welcher Begründung wird beim Schritt von "(L.3) ---> b)" nun dx=0 angenommen? Warum gilt diese Annahme x=const.?

15.01.2015, 15:03

Bananenbruno

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Frage neu aufgearbeitet
(L.5): $\begin{eqnarray*} -1 = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} \frac{\partial z}{\partial x}|_{y} \end{eqnarray*}$
Diese letztendlich zu Zeigende Gleichung bekomme den Namen (L.5), damit es bei einer ein-eindeutigen Namensvergabe bleibt. Alles (am 5. Januar) vor (L.5) Geschriebene muss für meine aufgearbeitete Frage nicht erneut durchgelesen werden.

Die Gleichung, die noch mit einbezogen wird, ist diese Version von
(L.4): $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} = (\frac{\partial z}{\partial x}|_{y})^{-1} \end{eqnarray*}$ ( L.4 )

Beweis von (L.4):

In das totale Differential
(L.1) $\begin{eqnarray*} dx = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} dy + \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} dz \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} dz = \frac{\partial z}{\partial x}|_{y} dx + \frac{\partial z}{\partial y}|_{x} dy \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dx = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} dy + \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} (\frac{\partial z}{\partial x}|_{y} dx + \frac{\partial z}{\partial y}|_{x} dy) \end{eqnarray*}$

und mit (der nach meiner Auffassung aufgrund der Form des Teilergebnisses (L.4) berechtigten Gleichsetzung) dy=0 wird das zu

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} \frac{\partial z}{\partial x}|_{y} dx \end{eqnarray*}$ , wovon beide Seiten (unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} dx \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) durch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x}|_{y} dx \end{eqnarray*}$ dividiert werden, um

(L.4): $\begin{eqnarray*} (\frac{\partial z}{\partial x}|_{y})^{-1} = \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} \end{eqnarray*}$

zu erhalten.
[Ende Beweis von (L.4)]

Jetzt zum für mich fraglichen Beweis von (L.5)
Wieder ausgehend vom totalen Differential
(L.1): $\begin{eqnarray*} dx = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} dy + \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} dz \end{eqnarray*}$

beidseitig $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} dz \end{eqnarray*}$ subtrahiert und $\begin{eqnarray*} dy = \frac{\partial y}{\partial x}|_{z} dx + \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} dz \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dx - \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} dz = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} (\frac{\partial y}{\partial x}|_{z} dx + \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} dz) \end{eqnarray*}$

Unter der Bedingung (*) dx=0 wird daraus:

$\begin{eqnarray*} - \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} dz = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} dz \end{eqnarray*}$
und unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} dz \neq 0 \end{eqnarray*}$ und Ersetzung von $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial z}|_{y} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (\frac{\partial z}{\partial x}|_{y})^{-1} \end{eqnarray*}$ wegen (L.4) wird daraus:
$\begin{eqnarray*} - (\frac{\partial z}{\partial x}|_{y})^{-1} = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x} \end{eqnarray*}$

woraus leicht das zu Zeigende

(L.5) $\begin{eqnarray*} - 1 = \frac{\partial x}{\partial y}|_{z} \frac{\partial y}{\partial z}|_{x}\frac{\partial z}{\partial x}|_{y} \end{eqnarray*}$
folgt.

Meine Frage:
Wie kommt es, dass die Bedingung (*) dx=0 berechtigt sein soll, wohingegen zum Beweis von (L.4) noch $\begin{eqnarray*} dx \neq 0 \end{eqnarray*}$ benutzt wurde?

28.03.2015, 16:47

Bananenbruno

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unklar?
Ist etwas nicht nachvollziehbar, verwirrt

oder ist schon an meiner Frage etwas unverständlich?

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