Exponentialfunktion

06.01.2015, 02:08

mimonI

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Exponentialfunktion

Meine Frage:
Moin moin erstmal liebe Mathe versteher smile

smile

Bestimme alle Lösungen der Gleichung.

2^5x+2 = 4^15-x

Das ist die Aufgabe, bei der ich momentan hängen bleibe in Mathe. Unsere Prof. hat diese und eine menge anderer Aufgaben uns aufgegeben, und wir sollten diese nutzen als Übung für die bevorstehende Prüfung in Mathe I.
Also es fängt schon damit an, dass Ich die Aufgabenstellung nicht ganz verstehe, steht alles oben nach dem 2^ oder nur das 5x und das +2 steht dann wieder unten? Auf der anderen Seite der Gleichung genau dasselbe? (Die Aufgabe steht online genauso dar wie ich es poste)

Meine Ideen:
Mein lösungsansatz ist das hier.. aber leider irrendwie falsch smile

smile

2^5x+2 = 4^15-x | ln()

5x * ln(2) + ln(2) = 15 * ln(4) - ln(x)

06.01.2015, 03:08

Bjoern1982

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Ist zwar sehr schlampig aufgeschrieben, aber es ist wohl das hier gemeint:

$\begin{eqnarray*} 2^{5x+2} = 4^{15-x} \end{eqnarray*}$

Anbieten würde sich hier die rechte Seite durch eine Potenz mit der Basis 2 auszudrücken.
Danach kann man dann einfach die Exponenten gleichsetzen.

06.01.2015, 09:31

klarsoweit

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Anmerkung am Rande: Prinzipiell bevorzuge ich auch diese Methode, es geht aber auch mit der Anwendung des ln. Allerdings muß man das richtig machen und dabei nicht 3 Schritte auf einmal durchführen. smile

smile

Und ab damit in die Analysis.

06.01.2015, 10:08

Sandra*

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Wie klarsoweit schon geschrieben hat... probier es mit dem ln und seiner Injektivität und wende dann die Logarithmengesetze an

06.01.2015, 15:33

mimonI

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danke für die tipps malschauen ob ich es hinkriege smile

smile

07.01.2015, 02:03

mimonI

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$\begin{eqnarray*} 2^{5x+2} = 4^{15-x} | +x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{6x+2} = 4^{15} | LOG() \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6x+2)* Log(2) = 15 * Log(4) | :Log(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x+2 = 15 * Log(4) / Log(2) | -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x = 15 * Log(4) / Log(2) - 2 | :6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 15 * Log(4) / Log(2) / 6 - 2 \end{eqnarray*}$

Ich kriegs irrgendwie einfach nicht hin unglücklich

unglücklich

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07.01.2015, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von mimonI
$\begin{eqnarray*} 2^{5x+2} = 4^{15-x} | +x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{6x+2} = 4^{15} | LOG() \end{eqnarray*}$

Allein bei dieser Umformung kräuseln sich sämtliche Fußnägel. geschockt

geschockt

Vielleicht beherzigst du dann doch den Tipp von Bjoern1982. Falls du da auch keinen Anfang findest, solltst du darüber nachdenken, daß 4 = 2² ist. smile

smile

07.01.2015, 09:14

Sandra*

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Mach doch aus deiner Funktion eine ln Funktion...

die würde dann so ähnlich aussehen wie:

$\begin{eqnarray*} ln(2^{x}) = ln(2^{x+1}) \end{eqnarray*}$

Nun wendet man folgendes Logarithmusgesetz an : $\begin{eqnarray*} ln(a^{n}) = n \cdot ln (a) \end{eqnarray*}$

Ab jetzt dürfte das wohl ein leichtes sein die Aufgabe zu lösen! Mit Zunge

Mit Zunge

07.01.2015, 09:21

klarsoweit

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Ich frage mich, was du mit diesem zusätzlichen (und im Grunde auch überflüssigem) Beitrag bezwecken willst. verwirrt

verwirrt

Prinzipiell hatte ja mimonI das Logarithmusgesetz richtig angewendet. Es hapert aber deutlich an der Beherrschung diverser anderer Regeln.

Ohnehin fällt mir auf, daß du in Threads, wo schon Antworten geliefert wurden, unnötige Zusatz-Kommentare abgibst. Lehrer

Lehrer

07.01.2015, 13:42

mimonI

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Ich kriegs nicht hin Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Könnte mir das eventuell jemand vorrechnen ?

07.01.2015, 13:53

klarsoweit

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Wie gesagt: das einfachste ist, hier die 4 durch 2² zu ersetzen:

$\begin{eqnarray*} 2^{5x+2} = 4^{15-x} \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} 2^{5x+2} = (2^2)^{15-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du rechts nur einmal eine Potenzregel anwenden und dann Exponentenvergleich machen.

07.01.2015, 14:35

mimonI

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> 2^{5x+2} = 4^{15-x} (Gleiche Basis finden, 2^2)<br /> <br /> 2^{5x+2} = (2^2)^{15-x} (Alle Exponenten Werden Miteinander Multipliziert)<br /> <br /> 2^{5x+2} = 2^{30-2x} (Exponentenvergleich)<br /> <br /> 5x+2 = 30-2x <br /> <br /> 7x = 28<br /> <br /> x = 4<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Super, vielen Dank!! Freude

Freude

Freude

Bin aber neugierig wie könnte man diese Aufgabe anders Lösen falls man das so nicht machen könnte?

07.01.2015, 14:48

klarsoweit

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Wie gesagt kannst du hier:
$\begin{eqnarray*} 2^{5x+2} = 4^{15-x} \end{eqnarray*}$
auf beiden Seiten den ln anwenden (oder auch den log zur Basis 2).
Dann mußt du aber mit den korrekten (und nicht mit irgendwelchen eigengestrickten) Regeln weiter rechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2015, 16:48

mimonI

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So hab mal den LG angewendet.
Ist das wirklich so einfach ?

Sieht den alles richtig aus?

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> 2^{5x+2} = 4^{15-x} <br /> <br /> (5x+2) * lg(2) = (15-x) * lg(4)<br /> <br /> 1,505x + 0,602 = 9,03 - 0.6020x<br /> <br /> 2,107x = 8,428<br /> <br /> x = 4<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

07.01.2015, 17:21

Bjoern1982

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Wäre zwar noch schöner, wenn du zwischendurch nicht rundest und sowas wie 5*ln(2) einfach bis zum Ende mitschleppst.
Aber im Grunde ist es das, ja. Freude

Freude

08.01.2015, 09:23

klarsoweit

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Ergänzend: mit der Umformung lg(4) = lg(2²) = 2 * lg(2) erspart man sich auch das Anwerfen des Taschenrechners zur Berechnung von lg(2) und lg(4). Augenzwinkern

Augenzwinkern

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