Richtung der maximale Steigung

06.01.2015, 09:40

keVin91

Richtung der maximale Steigung

Meine Frage:
Hi,
ich habe folgende Angabe:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{y}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
und soll folgende Frage beantworten:
in welche Richtung (vom Punkt x0=(1,2)) ist die Steigung maximal/gleich Null?

Meine Ideen:
Zuerst habe ich den Gradienten ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} grad(f) =\begin{pmatrix} \frac{-2xy}{(1+x^2)^2} \\ \frac{1}{1+x^2} \end{pmatrix} <br /> <br /> grad(f(1,2))=\begin{pmatrix} -1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Richtung der maximalen Steigung ist laut Skriptum:
$\begin{eqnarray*} \frac{grad(f)}{|| grad(f) || } \end{eqnarray*}$
Deshalb in diesem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{5} } * \begin{pmatrix} -1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> maximal

Stimmt die Richtung der maximalen Steigung? Was ist es bei 0?
Gruss

06.01.2015, 10:03

klarsoweit

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RE: Richtung der maximale Steigung

Zitat:

Original von keVin91
Stimmt die Richtung der maximalen Steigung?

Ja.

Zitat:

Original von keVin91
Was ist es bei 0?

Was soll mir diese Frage sagen?

06.01.2015, 10:16

keVin91

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Hi,

danke für deine rasche Antwort!

Hab mich da wohl falsch ausgedrückt:
Wie bestimme ich nun die Richtung in der die Steigung 0 ist?
Müsste doch rechtwinklig auf den Gradienten sein? Wie schreibe ich das aber an?

Gruss

06.01.2015, 10:32

Ehos

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Ja, die Richtung mit Anstieg null steht senkrecht auf dem Gradienten. Wenn der Gradient zum Beispiel in irgendeine Richtung $\begin{eqnarray*} (a_1|a_2) \end{eqnarray*}$ zeigt, so erhält man die senkrechte Richtung offenbar durch Vertauschen der Koordinaten und Einführung eines Minuszeichens, also $\begin{eqnarray*} (a_2|-a_1) \end{eqnarray*}$ . Dann verschwindet nämlich das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} (a_1|a_2)\cdot (a_2|-a_1)=a_1a_2-a_2a_1=0 \end{eqnarray*}$

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